与えられた6つの方程式を解く問題です。それぞれの方程式は以下の通りです。 (1) $2x^2 - 3x - 1 = 0$ (2) $3x^2 - 4x + 5 = 0$ (3) $(x-1)^2 + (x+2)^2 = 0$ (4) $3x^3 - x^2 - 5x - 1 = 0$ (5) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-3} = 2$ (6) $\sqrt{7-2x} = x - 2$

1. 問題の内容

与えられた6つの方程式を解く問題です。それぞれの方程式は以下の通りです。

(1) $2x^2 - 3x - 1 = 0$

(2) $3x^2 - 4x + 5 = 0$

(3) $(x-1)^2 + (x+2)^2 = 0$

(4) $3x^3 - x^2 - 5x - 1 = 0$

(5) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-3} = 2$

(6) $\sqrt{7-2x} = x - 2$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 3x - 1 = 0$

これは二次方程式なので、解の公式を使用します。解の公式は$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$です。

この方程式では、$a = 2$, $b = -3$, $c = -1$ です。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $3x^2 - 4x + 5 = 0$

これも二次方程式なので、解の公式を使用します。

$a = 3$, $b = -4$, $c = 5$ です。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(5)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 60}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{-44}}{6} = \frac{4 \pm 2i\sqrt{11}}{6} = \frac{2 \pm i\sqrt{11}}{3}$

(3) $(x-1)^2 + (x+2)^2 = 0$

展開して整理します。

$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) = 0$

$2x^2 + 2x + 5 = 0$

解の公式を使用します。

$a = 2$, $b = 2$, $c = 5$ です。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(2)(5)}}{2(2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 40}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{4} = \frac{-2 \pm 6i}{4} = \frac{-1 \pm 3i}{2}$

(4) $3x^3 - x^2 - 5x - 1 = 0$

この3次方程式を解くのは難しいです。もし整数解が存在する場合、それは $-1$ の約数（$\pm 1$）である必要があります。$x = 1$ を代入すると $3 - 1 - 5 - 1 = -4 \neq 0$、$x = -1$ を代入すると $-3 - 1 + 5 - 1 = 0$ となるので、$x = -1$ は解の一つです。

したがって、$3x^3 - x^2 - 5x - 1$ は $(x+1)$ を因数に持ちます。組み立て除法または筆算により、$3x^3 - x^2 - 5x - 1 = (x+1)(3x^2 - 4x - 1)$ と因数分解できます。

次に、$3x^2 - 4x - 1 = 0$ を解きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

よって、$x = -1, \frac{2 + \sqrt{7}}{3}, \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

(5) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-3} = 2$

両辺に $(x-1)(x-3)$ をかけます。ただし、$x \neq 1$ かつ $x \neq 3$ である必要があります。

$(x-3) - (x-1) = 2(x-1)(x-3)$

$x - 3 - x + 1 = 2(x^2 - 4x + 3)$

$-2 = 2x^2 - 8x + 6$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

$x = 2$ は $x \neq 1$ かつ $x \neq 3$ を満たします。

(6) $\sqrt{7-2x} = x - 2$

両辺を二乗します。

$7 - 2x = (x-2)^2$

$7 - 2x = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = 3$ または $x = -1$

ここで、$x = 3$ を元の式に代入すると、$\sqrt{7-2(3)} = \sqrt{1} = 1$ であり、$3 - 2 = 1$ なので、$x = 3$ は解です。

$x = -1$ を元の式に代入すると、$\sqrt{7-2(-1)} = \sqrt{9} = 3$ であり、$-1 - 2 = -3$ なので、$x = -1$ は解ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $x = \frac{2 \pm i\sqrt{11}}{3}$

(3) $x = \frac{-1 \pm 3i}{2}$

(4) $x = -1, \frac{2 + \sqrt{7}}{3}, \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

(5) $x = 2$

(6) $x = 3$