与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には、 (3) $2x^3+9x^2+13x+6$ (4) $3x^3-8x^2-15x-4$ の因数分解を行います。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には、

(3) $2x^3+9x^2+13x+6$

(4) $3x^3-8x^2-15x-4$

の因数分解を行います。

2. 解き方の手順

(3) $2x^3+9x^2+13x+6$の因数分解

まず、整数係数を持つ多項式の場合、有理根定理を用いて因数を見つけることを試みます。

定数項6の約数は$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$であり、最高次の係数2の約数は$\pm1, \pm2$であるため、可能な有理根は$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$です。

$x=-1$を代入すると、

$2(-1)^3 + 9(-1)^2 + 13(-1) + 6 = -2 + 9 - 13 + 6 = 0$

となるため、$x+1$は因数であることがわかります。

次に、多項式を$x+1$で割ります。

$2x^3 + 9x^2 + 13x + 6 = (x+1)(2x^2 + 7x + 6)$

さらに、$2x^2 + 7x + 6$を因数分解します。

$2x^2 + 7x + 6 = (2x+3)(x+2)$

したがって、$2x^3+9x^2+13x+6 = (x+1)(2x+3)(x+2)$

(4) $3x^3-8x^2-15x-4$の因数分解

同様に、有理根定理を用いて因数を見つけることを試みます。

定数項-4の約数は$\pm1, \pm2, \pm4$であり、最高次の係数3の約数は$\pm1, \pm3$であるため、可能な有理根は$\pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}, \pm\frac{4}{3}$です。

$x=4$を代入すると、

$3(4)^3 - 8(4)^2 - 15(4) - 4 = 3(64) - 8(16) - 60 - 4 = 192 - 128 - 60 - 4 = 0$

となるため、$x-4$は因数であることがわかります。

次に、多項式を$x-4$で割ります。

$3x^3 - 8x^2 - 15x - 4 = (x-4)(3x^2 + 4x + 1)$

さらに、$3x^2 + 4x + 1$を因数分解します。

$3x^2 + 4x + 1 = (3x+1)(x+1)$

したがって、$3x^3-8x^2-15x-4 = (x-4)(3x+1)(x+1)$

3. 最終的な答え

(3) $(x+1)(2x+3)(x+2)$

(4) $(x-4)(3x+1)(x+1)$