与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には、 (3) $2x^3+9x^2+13x+6$ (4) $3x^3-8x^2-15x-4$ の因数分解を行います。

代数学因数分解多項式有理根定理
2025/7/10

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には、
(3) 2x3+9x2+13x+62x^3+9x^2+13x+6
(4) 3x38x215x43x^3-8x^2-15x-4
の因数分解を行います。

2. 解き方の手順

(3) 2x3+9x2+13x+62x^3+9x^2+13x+6の因数分解
まず、整数係数を持つ多項式の場合、有理根定理を用いて因数を見つけることを試みます。
定数項6の約数は±1,±2,±3,±6\pm1, \pm2, \pm3, \pm6であり、最高次の係数2の約数は±1,±2\pm1, \pm2であるため、可能な有理根は±1,±2,±3,±6,±12,±32\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}です。
x=1x=-1を代入すると、
2(1)3+9(1)2+13(1)+6=2+913+6=02(-1)^3 + 9(-1)^2 + 13(-1) + 6 = -2 + 9 - 13 + 6 = 0
となるため、x+1x+1は因数であることがわかります。
次に、多項式をx+1x+1で割ります。
2x3+9x2+13x+6=(x+1)(2x2+7x+6)2x^3 + 9x^2 + 13x + 6 = (x+1)(2x^2 + 7x + 6)
さらに、2x2+7x+62x^2 + 7x + 6を因数分解します。
2x2+7x+6=(2x+3)(x+2)2x^2 + 7x + 6 = (2x+3)(x+2)
したがって、2x3+9x2+13x+6=(x+1)(2x+3)(x+2)2x^3+9x^2+13x+6 = (x+1)(2x+3)(x+2)
(4) 3x38x215x43x^3-8x^2-15x-4の因数分解
同様に、有理根定理を用いて因数を見つけることを試みます。
定数項-4の約数は±1,±2,±4\pm1, \pm2, \pm4であり、最高次の係数3の約数は±1,±3\pm1, \pm3であるため、可能な有理根は±1,±2,±4,±13,±23,±43\pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}, \pm\frac{4}{3}です。
x=4x=4を代入すると、
3(4)38(4)215(4)4=3(64)8(16)604=192128604=03(4)^3 - 8(4)^2 - 15(4) - 4 = 3(64) - 8(16) - 60 - 4 = 192 - 128 - 60 - 4 = 0
となるため、x4x-4は因数であることがわかります。
次に、多項式をx4x-4で割ります。
3x38x215x4=(x4)(3x2+4x+1)3x^3 - 8x^2 - 15x - 4 = (x-4)(3x^2 + 4x + 1)
さらに、3x2+4x+13x^2 + 4x + 1を因数分解します。
3x2+4x+1=(3x+1)(x+1)3x^2 + 4x + 1 = (3x+1)(x+1)
したがって、3x38x215x4=(x4)(3x+1)(x+1)3x^3-8x^2-15x-4 = (x-4)(3x+1)(x+1)

3. 最終的な答え

(3) (x+1)(2x+3)(x+2)(x+1)(2x+3)(x+2)
(4) (x4)(3x+1)(x+1)(x-4)(3x+1)(x+1)

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