関数 $y = \sqrt{-4x - 12}$ について、以下の問いに答える。 (i) 関数の定義域と値域を求める。 (ii) 方程式 $x + 3 = \sqrt{-4x - 12}$ の解を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{-4x - 12}$ について、以下の問いに答える。

(i) 関数の定義域と値域を求める。

(ii) 方程式 $x + 3 = \sqrt{-4x - 12}$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(i) 定義域を求める。

根号の中身が0以上である必要があるため、

$-4x - 12 \geq 0$

$-4x \geq 12$

$x \leq -3$

よって、定義域は $x \leq -3$。

値域を求める。

$\sqrt{-4x-12}$ は必ず0以上の値をとる。

$y = \sqrt{-4x - 12} \geq 0$

よって、値域は $y \geq 0$。

(ii) 方程式 $x + 3 = \sqrt{-4x - 12}$ を解く。

両辺を2乗すると、

$(x + 3)^2 = -4x - 12$

$x^2 + 6x + 9 = -4x - 12$

$x^2 + 10x + 21 = 0$

$(x + 3)(x + 7) = 0$

$x = -3, -7$

$x = -3$ のとき、

$-3 + 3 = \sqrt{-4(-3) - 12}$

$0 = \sqrt{12 - 12}$

$0 = 0$

これは成立する。

$x = -7$ のとき、

$-7 + 3 = \sqrt{-4(-7) - 12}$

$-4 = \sqrt{28 - 12}$

$-4 = \sqrt{16}$

$-4 = 4$

これは成立しない。

したがって、解は $x = -3$。

3. 最終的な答え

(i) 定義域は $x \leq -3$、値域は $y \geq 0$。

(ii) 解は $x = -3$。