(1) 関数 $y = \frac{5}{x+4}$ ($x>0$) の逆関数とその定義域、値域を求めます。 (2) $f(x) = \frac{4}{x+3}$ と $g(x) = 2x+5$ について、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{5}{x+4}$ ($x>0$) の逆関数とその定義域、値域を求めます。

(2) $f(x) = \frac{4}{x+3}$ と $g(x) = 2x+5$ について、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 逆関数を求める:

まず、$y = \frac{5}{x+4}$ を $x$ について解きます。

$y(x+4) = 5$

$xy + 4y = 5$

$xy = 5 - 4y$

$x = \frac{5-4y}{y}$

したがって、逆関数は $y = \frac{5-4x}{x} = \frac{5}{x} - 4$ となります。

次に、逆関数の定義域を求めます。元の関数の値域が逆関数の定義域となります。$x>0$のとき、$x+4>4$なので、$0 < \frac{5}{x+4} < \frac{5}{4}$。つまり、$0 < y < \frac{5}{4}$。よって、逆関数の定義域は $0 < x < \frac{5}{4}$。

画像より、定義域は $3 < x < \frac{4}{5}$とあるので、3と4/5に当てはまる数字を考える。

しかし、$0 < x < \frac{5}{4}$であるから、３は0、4/5は5/4のことである。

最後に、逆関数の値域を求めます。元の関数の定義域が逆関数の値域となります。元の関数の定義域は$x>0$なので、逆関数の値域は $y>0$。

画像より、値域は $6 < y$とあるので、6に当てはまる数字を考える。

元の関数の定義域は$x>0$なので、逆関数の値域は $y>0$。よって、6は0。

(2) 合成関数を求める:

(i) $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\frac{4}{x+3}\right) = 2\left(\frac{4}{x+3}\right) + 5 = \frac{8}{x+3} + 5 = \frac{8 + 5(x+3)}{x+3} = \frac{8 + 5x + 15}{x+3} = \frac{5x + 23}{x+3}$.

よって、$\frac{7}{x+3} + 8$の形にすると、$5+\frac{8}{x+3}$より、7は8、8は5。

(ii) $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x+5) = \frac{4}{(2x+5) + 3} = \frac{4}{2x+8} = \frac{2}{x+4}$.

よって、$\frac{9}{x+10}$の形にすると、9は2、10は4。

3. 最終的な答え

(1) 逆関数は $y = \frac{5}{x} - 4$。逆関数の定義域は $0 < x < \frac{5}{4}$、値域は $0 < y$。

つまり、

1: 5

2: -4

3: 0

4: 5

5: 4

6: 0

(2)

(i) $(g \circ f)(x) = \frac{8}{x+3} + 5$

7: 8

8: 5

(ii) $(f \circ g)(x) = \frac{2}{x+4}$

9: 2

10: 4