$a$ を正の定数とする。不等式 $|-2x+3| \le a$ を満たす正の整数 $x$ の個数が5個となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。不等式 $|-2x+3| \le a$ を満たす正の整数 $x$ の個数が5個となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $|-2x+3| \le a$ を解く。

絶対値の性質より、

$-a \le -2x+3 \le a$

$-a-3 \le -2x \le a-3$

両辺を $-2$ で割ると（不等号の向きが変わることに注意）、

$\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$

正の整数 $x$ の個数が5個となることから、

$\frac{3-a}{2} < 1$　（少なくとも $x=1$ が含まれる）

かつ

$\frac{3+a}{2} \ge 5$　（少なくとも $x=5$ が含まれる）

かつ

$\frac{3+a}{2} < 6$　（$x=6$ は含まれない）

でなければならない。

これらの不等式を解く。

(1) $\frac{3-a}{2} < 1$

$3-a < 2$

$-a < -1$

$a > 1$

(2) $\frac{3+a}{2} \ge 5$

$3+a \ge 10$

$a \ge 7$

(3) $\frac{3+a}{2} < 6$

$3+a < 12$

$a < 9$

(1), (2), (3) を同時に満たす $a$ の範囲は、

$7 \le a < 9$

3. 最終的な答え

$7 \le a < 9$