6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下のものを求めます。 (1) $\tau\sigma$ (2) $\sigma^{-1}$ (3) $\sigma$ を互換の積で表す (4) $\text{sgn}(\sigma)$

1. 問題の内容

6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下のものを求めます。

(1) $\tau\sigma$

(2) $\sigma^{-1}$

(3) $\sigma$ を互換の積で表す

(4) $\text{sgn}(\sigma)$

2. 解き方の手順

(1) $\tau\sigma$ の計算:

$\tau\sigma$ は $\sigma$ を適用した後に $\tau$ を適用することを意味します。つまり、

$\tau\sigma(i) = \tau(\sigma(i))$ を計算します。

- $1 \xrightarrow{\sigma} 2 \xrightarrow{\tau} 1$, よって $\tau\sigma(1) = 1$

- $2 \xrightarrow{\sigma} 4 \xrightarrow{\tau} 3$, よって $\tau\sigma(2) = 3$

- $3 \xrightarrow{\sigma} 5 \xrightarrow{\tau} 4$, よって $\tau\sigma(3) = 4$

- $4 \xrightarrow{\sigma} 6 \xrightarrow{\tau} 2$, よって $\tau\sigma(4) = 2$

- $5 \xrightarrow{\sigma} 1 \xrightarrow{\tau} 6$, よって $\tau\sigma(5) = 6$

- $6 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\tau} 5$, よって $\tau\sigma(6) = 5$

したがって、 $\tau\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1}$ の計算:

$\sigma^{-1}$ は $\sigma$ の逆置換なので、$\sigma$ の上下を入れ替えて、上段をソートします。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ より、

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma$ を互換の積で表す:

$\sigma$ を巡回置換で表すと、

$\sigma = (1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5)$ です。

巡回置換を互換の積で表すと、

$(1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5) = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

したがって、$\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $\text{sgn}(\sigma)$ の計算:

置換の符号は、互換の数に依存します。$\sigma$ は5つの互換の積で表せるので、$\text{sgn}(\sigma) = (-1)^5 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\tau\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $\text{sgn}(\sigma) = -1$