6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下のものを求める問題です。 (1) $\tau \sigma$ (2) $\sigma^{-1}$ (3) $\sigma$ を互換の積で表す (4) $sgn(\sigma)$

1. 問題の内容

6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下のものを求める問題です。

(1) $\tau \sigma$

(2) $\sigma^{-1}$

(3) $\sigma$ を互換の積で表す

(4) $sgn(\sigma)$

2. 解き方の手順

(1) $\tau \sigma$ を求める。$\tau \sigma$ は $\sigma$ を適用した後に $\tau$ を適用することを意味します。つまり、$\tau \sigma(i) = \tau(\sigma(i))$ です。

- $1 \xrightarrow{\sigma} 2 \xrightarrow{\tau} 1$

- $2 \xrightarrow{\sigma} 4 \xrightarrow{\tau} 3$

- $3 \xrightarrow{\sigma} 5 \xrightarrow{\tau} 4$

- $4 \xrightarrow{\sigma} 6 \xrightarrow{\tau} 2$

- $5 \xrightarrow{\sigma} 1 \xrightarrow{\tau} 6$

- $6 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\tau} 5$

したがって、$\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$ です。

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。$\sigma^{-1}$ は $\sigma$ の逆置換であり、$\sigma(i) = j$ ならば $\sigma^{-1}(j) = i$ となります。$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ より、

- $1 \leftarrow 2$

- $2 \leftarrow 4$

- $3 \leftarrow 5$

- $4 \leftarrow 6$

- $5 \leftarrow 1$

- $6 \leftarrow 3$

したがって、$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ です。

(3) $\sigma$ を互換の積で表す。$\sigma$ は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ です。これはサイクル表記で $(1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5)$ と表せます。サイクルを互換の積で表すと、$(1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5) = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$ となります。

よって、$\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $sgn(\sigma)$ を求める。置換 $\sigma$ の符号 $sgn(\sigma)$ は、$\sigma$ を互換の積で表したときの互換の個数の偶奇によって決定されます。$\sigma$ を互換の積で表したとき、互換の個数が偶数なら $sgn(\sigma) = 1$、奇数なら $sgn(\sigma) = -1$ となります。

(3)より、$\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$ であり、互換の個数は5個なので奇数です。したがって、$sgn(\sigma) = -1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $sgn(\sigma) = -1$