問題5：2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の2数を解とする2次方程式を1つ作れ。 (1) $2\alpha$, $2\beta$ (2) $\alpha^2$, $\beta^2$ (3) $\alpha+1$, $\beta+1$ 問題6：次の多項式を、[]内の1次式で割った余りを求めよ。 (1) $x^2 - 5x - 14$ [$x-2$]

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題5：2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の2数を解とする2次方程式を1つ作れ。

(1) $2\alpha$, $2\beta$

(2) $\alpha^2$, $\beta^2$

(3) $\alpha+1$, $\beta+1$

問題6：次の多項式を、[]内の1次式で割った余りを求めよ。

(1) $x^2 - 5x - 14$ [$x-2$]

2. 解き方の手順

問題5(1)：

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 1$、$\alpha\beta = -5$。

$2\alpha$ と $2\beta$ を解とする2次方程式は、

$(x - 2\alpha)(x - 2\beta) = 0$

$x^2 - 2(\alpha + \beta)x + 4\alpha\beta = 0$

$x^2 - 2(1)x + 4(-5) = 0$

$x^2 - 2x - 20 = 0$

問題5(2)：

$\alpha + \beta = 1$、$\alpha\beta = -5$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (1)^2 - 2(-5) = 1 + 10 = 11$

$\alpha^2 \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-5)^2 = 25$

$\alpha^2$ と $\beta^2$ を解とする2次方程式は、

$(x - \alpha^2)(x - \beta^2) = 0$

$x^2 - (\alpha^2 + \beta^2)x + \alpha^2\beta^2 = 0$

$x^2 - 11x + 25 = 0$

問題5(3)：

$\alpha + \beta = 1$、$\alpha\beta = -5$

$(\alpha + 1) + (\beta + 1) = \alpha + \beta + 2 = 1 + 2 = 3$

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = -5 + 1 + 1 = -3$

$\alpha+1$ と $\beta+1$ を解とする2次方程式は、

$(x - (\alpha + 1))(x - (\beta + 1)) = 0$

$x^2 - ((\alpha + 1) + (\beta + 1))x + (\alpha + 1)(\beta + 1) = 0$

$x^2 - 3x - 3 = 0$

問題6(1)：

$P(x) = x^2 - 5x - 14$ を $x - 2$ で割った余りは、剰余の定理より $P(2)$。

$P(2) = (2)^2 - 5(2) - 14 = 4 - 10 - 14 = -20$

3. 最終的な答え

問題5(1)：$x^2 - 2x - 20 = 0$

問題5(2)：$x^2 - 11x + 25 = 0$

問題5(3)：$x^2 - 3x - 3 = 0$

問題6(1)：$-20$