問題5:2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の2数を解とする2次方程式を1つ作れ。 (1) $2\alpha$, $2\beta$ (2) $\alpha^2$, $\beta^2$ (3) $\alpha+1$, $\beta+1$ 問題6:次の多項式を、[]内の1次式で割った余りを求めよ。 (1) $x^2 - 5x - 14$ [$x-2$]

代数学二次方程式解と係数の関係剰余の定理多項式
2025/7/9
はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題5:2次方程式 x2x5=0x^2 - x - 5 = 0 の2つの解を α\alpha, β\beta とするとき、次の2数を解とする2次方程式を1つ作れ。
(1) 2α2\alpha, 2β2\beta
(2) α2\alpha^2, β2\beta^2
(3) α+1\alpha+1, β+1\beta+1
問題6:次の多項式を、[]内の1次式で割った余りを求めよ。
(1) x25x14x^2 - 5x - 14 [x2x-2]

2. 解き方の手順

問題5(1):
解と係数の関係より、α+β=1\alpha + \beta = 1αβ=5\alpha\beta = -5
2α2\alpha2β2\beta を解とする2次方程式は、
(x2α)(x2β)=0(x - 2\alpha)(x - 2\beta) = 0
x22(α+β)x+4αβ=0x^2 - 2(\alpha + \beta)x + 4\alpha\beta = 0
x22(1)x+4(5)=0x^2 - 2(1)x + 4(-5) = 0
x22x20=0x^2 - 2x - 20 = 0
問題5(2):
α+β=1\alpha + \beta = 1αβ=5\alpha\beta = -5
α2+β2=(α+β)22αβ=(1)22(5)=1+10=11\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (1)^2 - 2(-5) = 1 + 10 = 11
α2β2=(αβ)2=(5)2=25\alpha^2 \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-5)^2 = 25
α2\alpha^2β2\beta^2 を解とする2次方程式は、
(xα2)(xβ2)=0(x - \alpha^2)(x - \beta^2) = 0
x2(α2+β2)x+α2β2=0x^2 - (\alpha^2 + \beta^2)x + \alpha^2\beta^2 = 0
x211x+25=0x^2 - 11x + 25 = 0
問題5(3):
α+β=1\alpha + \beta = 1αβ=5\alpha\beta = -5
(α+1)+(β+1)=α+β+2=1+2=3(\alpha + 1) + (\beta + 1) = \alpha + \beta + 2 = 1 + 2 = 3
(α+1)(β+1)=αβ+α+β+1=5+1+1=3(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = -5 + 1 + 1 = -3
α+1\alpha+1β+1\beta+1 を解とする2次方程式は、
(x(α+1))(x(β+1))=0(x - (\alpha + 1))(x - (\beta + 1)) = 0
x2((α+1)+(β+1))x+(α+1)(β+1)=0x^2 - ((\alpha + 1) + (\beta + 1))x + (\alpha + 1)(\beta + 1) = 0
x23x3=0x^2 - 3x - 3 = 0
問題6(1):
P(x)=x25x14P(x) = x^2 - 5x - 14x2x - 2 で割った余りは、剰余の定理より P(2)P(2)
P(2)=(2)25(2)14=41014=20P(2) = (2)^2 - 5(2) - 14 = 4 - 10 - 14 = -20

3. 最終的な答え

問題5(1):x22x20=0x^2 - 2x - 20 = 0
問題5(2):x211x+25=0x^2 - 11x + 25 = 0
問題5(3):x23x3=0x^2 - 3x - 3 = 0
問題6(1):20-20

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