次の連立一次方程式を解きます。 $ \begin{cases} 2x_1 + 5x_2 - x_3 = 4 \\ 4x_1 - 3x_2 - 4x_3 = 4 \\ -4x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 3 \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立一次方程式を解きます。

$$

\begin{cases}

2x_1 + 5x_2 - x_3 = 4 \\

4x_1 - 3x_2 - 4x_3 = 4 \\

-4x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 3

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、第一式、第二式、第三式をそれぞれ(1), (2), (3)とします。

(2) + (3) を計算すると、

$$

(4x_1 - 3x_2 - 4x_3) + (-4x_1 + 2x_2 - 2x_3) = 4 + 3

$$

$$

-x_2 - 6x_3 = 7

$$

$$

x_2 = -6x_3 - 7 \qquad (4)

$$

次に、(1) * 2 + (2)を計算すると、

$$

(4x_1 + 10x_2 - 2x_3) + (4x_1 - 3x_2 - 4x_3) = 8 + 4

$$

$$

8x_1 + 7x_2 - 6x_3 = 12

$$

$$

8x_1 = -7x_2 + 6x_3 + 12 \qquad (5)

$$

(3) * 2 + (2) * -1 を計算すると、

$$

(-8x_1 + 4x_2 - 4x_3) + (-4x_1 + 3x_2 + 4x_3) = 6 + (-4)

$$

$$

-12x_1 + 7x_2 = 2

$$

$$

12x_1 = 7x_2 - 2 \qquad (6)

$$

次に、(5) * 3 + (6) * 2 を計算すると

$$

(24x_1 = -21x_2 + 18x_3 + 36) + (24x_1 = 14x_2 - 4)

$$

$$

-21x_2 + 18x_3 + 36 + 14x_2 - 4 = 0

$$

$$

-7x_2 + 18x_3 + 32 = 0

$$

$$

7x_2 = 18x_3 + 32 \qquad (7)

$$

(4) * 7 を計算すると、

$$

7x_2 = -42x_3 - 49

$$

(7)との差を計算すると、

$$

0 = 18x_3 + 32 + 42x_3 + 49

$$

$$

60x_3 = -81

$$

$$

x_3 = -\frac{81}{60} = -\frac{27}{20}

$$

(4)に代入すると、

$$

x_2 = -6(-\frac{27}{20}) - 7 = \frac{81}{10} - \frac{70}{10} = \frac{11}{10}

$$

(1)に代入すると、

$$

2x_1 = 4 - 5x_2 + x_3 = 4 - 5(\frac{11}{10}) - \frac{27}{20} = \frac{80 - 55 - 27}{20} = \frac{-2}{20} = -\frac{1}{10}

$$

$$

x_1 = -\frac{1}{20}

$$

3. 最終的な答え

$$

\begin{cases}

x_1 = -\frac{1}{20} \\

x_2 = \frac{11}{10} \\

x_3 = -\frac{27}{20}

\end{cases}

$$