与えられた2変数多項式 $x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12$ を因数分解し、 $(x + Ay - B)(x + Cy + D)$ の形に表すとき、$A$, $B$, $C$, $D$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12$ を因数分解し、 $(x + Ay - B)(x + Cy + D)$ の形に表すとき、$A$, $B$, $C$, $D$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 5xy + 6y^2$ の部分を因数分解します。

$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$ となります。

そこで、$x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12 = (x+2y+a)(x+3y+b)$ とおきます。

右辺を展開すると、

$(x+2y+a)(x+3y+b) = x^2 + 3xy + bx + 2xy + 6y^2 + 2by + ax + 3ay + ab$

$= x^2 + 5xy + 6y^2 + (a+b)x + (3a+2b)y + ab$

これが $x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12$ と等しいので、

$a+b = 1$

$3a+2b = -1$

$ab = -12$

という連立方程式が得られます。

$a+b=1$ より $b=1-a$ なので、$3a+2(1-a)=-1$ から $3a+2-2a=-1$ となり、$a = -3$ が得られます。

すると $b = 1 - (-3) = 4$ となります。

$ab = (-3)(4) = -12$ となり、これも満たします。

したがって、因数分解は $(x+2y-3)(x+3y+4)$ となります。

3. 最終的な答え

$A=2, B=3, C=3, D=4$