$\sqrt{7}$ の小数部分を $a$ とするとき、以下の式の値を求める。 (1) $a + \frac{1}{a}$ (2) $a^2 + \frac{1}{a^2}$

代数学平方根有理化式の計算
2025/7/9

1. 問題の内容

7\sqrt{7} の小数部分を aa とするとき、以下の式の値を求める。
(1) a+1aa + \frac{1}{a}
(2) a2+1a2a^2 + \frac{1}{a^2}

2. 解き方の手順

まず、7\sqrt{7} の整数部分を求める。
22=42^2 = 4 であり、32=93^2 = 9 であるから、2<7<32 < \sqrt{7} < 3 である。
したがって、7\sqrt{7} の整数部分は 2 である。
(1) 7\sqrt{7} の小数部分 aa は、72\sqrt{7} - 2 で表される。
a=72a = \sqrt{7} - 2 であるから、
1a=172\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{7} - 2} となる。
1a\frac{1}{a} の分母を有理化するために、分子と分母に 7+2\sqrt{7} + 2 を掛ける。
1a=7+2(72)(7+2)=7+274=7+23\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{7} + 2}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} = \frac{\sqrt{7} + 2}{7 - 4} = \frac{\sqrt{7} + 2}{3}
誤りがあったので修正する。
a=72a = \sqrt{7} - 2 より
1a=172=7+2(72)(7+2)=7+274=7+23\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{7} - 2} = \frac{\sqrt{7} + 2}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} = \frac{\sqrt{7} + 2}{7 - 4} = \frac{\sqrt{7} + 2}{3}
ではない。
(72)(7+2)=74=3(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = 7 - 4 = 3 であっている。よって
1a=7+2\frac{1}{a} = \sqrt{7} + 2
したがって、
a+1a=(72)+(7+2)=27a + \frac{1}{a} = (\sqrt{7} - 2) + (\sqrt{7} + 2) = 2\sqrt{7}
(2) a2+1a2a^2 + \frac{1}{a^2} を求める。
a+1a=27a + \frac{1}{a} = 2\sqrt{7} であるから、両辺を2乗すると、
(a+1a)2=(27)2(a + \frac{1}{a})^2 = (2\sqrt{7})^2
a2+2(a)(1a)+1a2=4×7=28a^2 + 2(a)(\frac{1}{a}) + \frac{1}{a^2} = 4 \times 7 = 28
a2+2+1a2=28a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 28
a2+1a2=282=26a^2 + \frac{1}{a^2} = 28 - 2 = 26

3. 最終的な答え

(1) a+1a=27a + \frac{1}{a} = 2\sqrt{7}
(2) a2+1a2=26a^2 + \frac{1}{a^2} = 26

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