多項式 $x^3 + kx^2 - 3$ を $x+2$ で割った余りが1となるような定数 $k$ の値を求めます。

代数学多項式剰余の定理因数定理代数
2025/7/9

1. 問題の内容

多項式 x3+kx23x^3 + kx^2 - 3x+2x+2 で割った余りが1となるような定数 kk の値を求めます。

2. 解き方の手順

余りの定理を使います。多項式 P(x)P(x)xax-a で割った余りは P(a)P(a) です。
この問題では、P(x)=x3+kx23P(x) = x^3 + kx^2 - 3 であり、x+2x+2 で割るので、a=2a = -2 となります。
したがって、P(2)=(2)3+k(2)23P(-2) = (-2)^3 + k(-2)^2 - 3 が余りになります。
問題文より、余りが1なので、
(2)3+k(2)23=1(-2)^3 + k(-2)^2 - 3 = 1
8+4k3=1-8 + 4k - 3 = 1
4k11=14k - 11 = 1
4k=124k = 12
k=3k = 3

3. 最終的な答え

k=3k = 3

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