3次方程式 $x^3 + 5x^2 - 4 = 0$ の解を求める問題です。

## (3) $x^3 + 5x^2 - 4 = 0$ の解法

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 5x^2 - 4 = 0$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて、この方程式の解を見つけます。

$x = 1$ を代入すると、$1^3 + 5(1^2) - 4 = 1 + 5 - 4 = 2 \neq 0$

$x = -1$ を代入すると、 $(-1)^3 + 5(-1)^2 - 4 = -1 + 5 - 4 = 0$

したがって、$x = -1$ はこの方程式の解の一つです。つまり、$x+1$ は $x^3 + 5x^2 - 4$ の因数です。

次に、多項式 $x^3 + 5x^2 - 4$ を $x + 1$ で割ります。

```

x^2 + 4x - 4

x + 1 | x^3 + 5x^2 + 0x - 4

-(x^3 + x^2)

----------------

4x^2 + 0x

-(4x^2 + 4x)

----------------

-4x - 4

-(-4x - 4)

----------------

0

```

よって、$x^3 + 5x^2 - 4 = (x + 1)(x^2 + 4x - 4)$ と因数分解できます。

したがって、方程式 $x^3 + 5x^2 - 4 = 0$ は $(x + 1)(x^2 + 4x - 4) = 0$ となります。

これから、$x = -1$ または $x^2 + 4x - 4 = 0$ を得ます。

二次方程式 $x^2 + 4x - 4 = 0$ を解くために、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = 4$, $c = -4$ です。

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$x = -2 + 2\sqrt{2}$ または $x = -2 - 2\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

方程式 $x^3 + 5x^2 - 4 = 0$ の解は、

$x = -1$, $x = -2 + 2\sqrt{2}$, $x = -2 - 2\sqrt{2}$ です。

## (4) $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$ の解法

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて、この方程式の解を見つけます。

定数項は -8 なので、候補は ±1, ±2, ±4, ±8 です。

$x = 2$ を代入すると、$2^4 + 2^3 - 2(2^2) - 4(2) - 8 = 16 + 8 - 8 - 8 - 8 = 0$

したがって、$x = 2$ はこの方程式の解の一つです。つまり、$x-2$ は $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8$ の因数です。

次に、多項式 $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8$ を $x - 2$ で割ります。

```

x^3 + 3x^2 + 4x + 4

x - 2 | x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8

-(x^4 - 2x^3)

----------------

3x^3 - 2x^2

-(3x^3 - 6x^2)

----------------

4x^2 - 4x

-(4x^2 - 8x)

----------------

4x - 8

-(4x - 8)

----------------

0

```

よって、$x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = (x - 2)(x^3 + 3x^2 + 4x + 4)$ と因数分解できます。

したがって、方程式 $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$ は $(x - 2)(x^3 + 3x^2 + 4x + 4) = 0$ となります。

これから、$x = 2$ または $x^3 + 3x^2 + 4x + 4 = 0$ を得ます。

$x^3 + 3x^2 + 4x + 4 = 0$ を解くために、再び因数定理を用います。

定数項は 4 なので、候補は ±1, ±2, ±4 です。

$x = -2$ を代入すると、 $(-2)^3 + 3(-2)^2 + 4(-2) + 4 = -8 + 12 - 8 + 4 = 0$

したがって、$x = -2$ は $x^3 + 3x^2 + 4x + 4 = 0$ の解の一つです。つまり、$x+2$ は $x^3 + 3x^2 + 4x + 4$ の因数です。

次に、多項式 $x^3 + 3x^2 + 4x + 4$ を $x + 2$ で割ります。

```

x^2 + x + 2

x + 2 | x^3 + 3x^2 + 4x + 4

-(x^3 + 2x^2)

----------------

x^2 + 4x

-(x^2 + 2x)

----------------

2x + 4

-(2x + 4)

----------------

0

```

よって、$x^3 + 3x^2 + 4x + 4 = (x + 2)(x^2 + x + 2)$ と因数分解できます。

したがって、方程式 $x^3 + 3x^2 + 4x + 4 = 0$ は $(x + 2)(x^2 + x + 2) = 0$ となります。

これから、$x = -2$ または $x^2 + x + 2 = 0$ を得ます。

二次方程式 $x^2 + x + 2 = 0$ を解くために、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = 1$, $c = 2$ です。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

したがって、$x = \frac{-1 + i\sqrt{7}}{2}$ または $x = \frac{-1 - i\sqrt{7}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

方程式 $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$ の解は、

$x = 2$, $x = -2$, $x = \frac{-1 + i\sqrt{7}}{2}$, $x = \frac{-1 - i\sqrt{7}}{2}$ です。