与えられた数列の和を計算します。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、和の中身を展開します。

$(k-1)(k-2) = k^2 - 3k + 2$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、以下の公式を使用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3\frac{n(n+1)}{2} + 2n$

共通因子 $n$ をくくり出すと、

$= n\left(\frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{3(n+1)}{2} + 2\right)$

$= n\left(\frac{2n^2 + 3n + 1}{6} - \frac{9n+9}{6} + \frac{12}{6}\right)$

$= n\left(\frac{2n^2 + 3n + 1 - 9n - 9 + 12}{6}\right)$

$= n\left(\frac{2n^2 - 6n + 4}{6}\right)$

$= \frac{n(2n^2 - 6n + 4)}{6}$

$= \frac{2n(n^2 - 3n + 2)}{6}$

$= \frac{n(n^2 - 3n + 2)}{3}$

$= \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$