与えられた2次方程式、不等式、及び場合の数に関する問題を解きます。 (7) 2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ …① (1) ①を解く。 (2) ①の解のうち、正の方を $a$ とするとき、1次不等式 $(a+1)x > 2a+7$ …②を解く。 (3) (2)の $a$、②に対して、②と $2x - k + 1 < 0$ をともに満たす整数 $x$ の値が3個だけあるとき、整数 $k$ の値をすべて求める。 (1) A, B, C, D, E の5文字を1列に並べるとき、A, B, C がこの順になる並べ方は何通りあるか。 (2) 9人の生徒を、2人, 2人, 2人, 3人の4つの組に分ける方法は何通りあるか。 (3) Aさんを含む4人の男子とBさんを含む3人の女子の計7人から5人を選ぶとき、男子からAさんを含む3人、女子からBさんを含む2人を選ぶ選び方は何通りあるか。

はい、承知いたしました。問題文を丁寧に読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式、不等式、及び場合の数に関する問題を解きます。

(7) 2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ …①

(1) ①を解く。

(2) ①の解のうち、正の方を $a$ とするとき、1次不等式 $(a+1)x > 2a+7$ …②を解く。

(3) (2)の $a$、②に対して、②と $2x - k + 1 < 0$ をともに満たす整数 $x$ の値が3個だけあるとき、整数 $k$ の値をすべて求める。

(1) A, B, C, D, E の5文字を1列に並べるとき、A, B, C がこの順になる並べ方は何通りあるか。

(2) 9人の生徒を、2人, 2人, 2人, 3人の4つの組に分ける方法は何通りあるか。

(3) Aさんを含む4人の男子とBさんを含む3人の女子の計7人から5人を選ぶとき、男子からAさんを含む3人、女子からBさんを含む2人を選ぶ選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(7)

(1) 2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。この問題では、$a=1$, $b=2$, $c=-4$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

(2) ①の解のうち、正の方は $a = -1 + \sqrt{5}$ です。これを不等式 $(a+1)x > 2a+7$ に代入します。

$(a+1) = (-1 + \sqrt{5} + 1) = \sqrt{5}$

$2a+7 = 2(-1+\sqrt{5})+7 = -2 + 2\sqrt{5} + 7 = 5 + 2\sqrt{5}$

したがって、$\sqrt{5}x > 5 + 2\sqrt{5}$ となり、$x > \frac{5 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} + 2 = \sqrt{5} + 2$

(3) (2)の結果から、$x > \sqrt{5} + 2$ …② です。また、$2x - k + 1 < 0$ より、$2x < k - 1$、$x < \frac{k-1}{2}$ …③ です。

②と③をともに満たす整数 $x$ の値が3個だけであるとき、$x$ は $\sqrt{5}+2 < x < \frac{k-1}{2}$ の範囲に3つの整数解を持つ必要があります。

$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$\sqrt{5}+2 \approx 4.236$ です。

したがって、整数 $x$ は 5, 6, 7 の3つです。

$7 < \frac{k-1}{2} \leq 8$ である必要があります。

$14 < k-1 \leq 16$

$15 < k \leq 17$

$k$ は整数なので、$k = 16, 17$ となります。

(1) 5文字 A, B, C, D, E を並べる総数は $5! = 120$ 通りです。A, B, C の順序が固定されているので、A, B, C を同じ文字として考え、並べた後に順番に A, B, C を割り当てれば良いです。よって、$\frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$ 通りです。

(2) 9人の生徒を2人, 2人, 2人, 3人の4つの組に分ける方法は、

$\binom{9}{2} \binom{7}{2} \binom{5}{2} \binom{3}{3} \times \frac{1}{3!} = \frac{9 \times 8}{2} \times \frac{7 \times 6}{2} \times \frac{5 \times 4}{2} \times 1 \times \frac{1}{6} = 36 \times 21 \times 10 \times \frac{1}{6} = 6 \times 21 \times 10 = 1260$ 通りです。

(3) Aさんを含む4人の男子とBさんを含む3人の女子の計7人から5人を選ぶとき、男子からAさんを含む3人、女子からBさんを含む2人を選ぶ選び方は、男子がAさんを含んで3人なので、残り2人の男子を男子全体から選びます。女子はBさんを含んで2人なので、残り1人の女子を女子全体から選びます。男子の残り人数は4-1=3人、女子の残り人数は3-1=2人です。

したがって、選び方は $\binom{3}{2} \binom{2}{1} = 3 \times 2 = 6$ 通りです。

3. 最終的な答え

(7)

(1) $x = -1 \pm \sqrt{5}$

(2) $x > 2 + \sqrt{5}$

(3) $k = 16, 17$

(1) 20 通り

(2) 1260 通り

(3) 6 通り