与えられた画像には、複数の数学の問題が含まれています。具体的には、 * 2次関数に関する問題 (問題1) * 2次方程式と1次不等式に関する問題 (問題2) * 順列・組み合わせに関する問題 (問題3) があります。 問題1は、2次関数 $y = f(x)$ の係数や頂点に関する条件から、$a$ の値や $p$ の値を求める問題です。 問題2は、2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ の解を求め、その解を用いて1次不等式を解き、条件を満たす整数の値を求める問題です。 問題3は、順列や組み合わせを用いて、条件を満たす並べ方や分け方の総数を求める問題です。 以下に、各問題の詳細な解き方と答えを示します。 **問題1** (1) $b$ を $a$ で表す問題は、問題文に $b = a$ と書かれているため、$b = a$ となります。 (2) $y = f(x)$ のグラフの頂点が直線 $y = x + 1$ 上にあるとき、$a$ の値を求めます。 $f(x)$ が与えられていないので解けません。 (3) (2) のとき、負の定数 $p$ について、$p \le x \le 0$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値の差が $-2p$ となるような $p$ の値を求める問題です。$f(x)$ が与えられていないので解けません。 **問題2** (1) 2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ を解きます。 解の公式を用いると、 $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$ となります。 (2) (1) の解のうち、正の方を $a$ とするとき、1次不等式 $(a + 1)x > 2a + 7$ を解きます。 $a = -1 + \sqrt{5}$ なので、 $(\sqrt{5})x > 2(-1 + \sqrt{5}) + 7$ $\sqrt{5} x > -2 + 2\sqrt{5} + 7$ $\sqrt{5} x > 5 + 2\sqrt{5}$ $x > \frac{5 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} + 2 = \sqrt{5} + 2$ (3) (2) の $a$、不等式 $(a + 1)x > 2a + 7$ と $2x - k + 1 < 0$ をともに満たす整数 $x$ の値が3個だけあるとき、整数 $k$ の値をすべて求めます。 まず、$2x - k + 1 < 0$ より、$2x < k - 1$ なので、$x < \frac{k - 1}{2}$。 (2) の結果より、$x > \sqrt{5} + 2$ であり、$ \sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$x > 4.236$。 $x$ は整数なので、$x \ge 5$。 $5, 6, 7$ が条件を満たす整数 $x$ の値なので、$x < \frac{k - 1}{2}$ より $7 < \frac{k - 1}{2} \le 8$ $14 < k - 1 \le 16$ $15 < k \le 17$ $k$ は整数なので、$k = 16, 17$。 **問題3** (1) A, B, C, D, E の 5 文字を 1 列に並べるとき、A, B, C がこの順になる並べ方は何通りあるか。 まず、5文字を並べる順列は $5! = 120$ 通り。 A, B, C の並び順は 3! = 6 通り。 A, B, C がこの順になるのは、そのうちの1通りなので、$120 / 6 = 20$通り。 (2) 9人の生徒を、2人, 2人, 2人, 3人の4つの組に分ける方法は何通りあるか。 まず、9人から2人を選ぶ組み合わせは $\binom{9}{2}$ 通り。 次に、残りの7人から2人を選ぶ組み合わせは $\binom{7}{2}$ 通り。 さらに、残りの5人から2人を選ぶ組み合わせは $\binom{5}{2}$ 通り。 最後に、残りの3人を選ぶ組み合わせは $\binom{3}{3}$ 通り。 2人組が3つあるので、3! で割る必要がある。 $\frac{\binom{9}{2} \binom{7}{2} \binom{5}{2} \binom{3}{3}}{3!} = \frac{\frac{9 \cdot 8}{2} \cdot \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 1}{6} = \frac{36 \cdot 21 \cdot 10}{6} = 6 \cdot 21 \cdot 10 = 1260$ 通り。 **Aさんを含む4人の男子とBさんを含む3人の女子の計7人からの選び方が不明のため、解けません。**

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

与えられた画像には、複数の数学の問題が含まれています。具体的には、

* 2次関数に関する問題 (問題1)

* 2次方程式と1次不等式に関する問題 (問題2)

* 順列・組み合わせに関する問題 (問題3)

があります。

問題1は、2次関数 $y = f(x)$ の係数や頂点に関する条件から、$a$ の値や $p$ の値を求める問題です。

問題2は、2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ の解を求め、その解を用いて1次不等式を解き、条件を満たす整数の値を求める問題です。

問題3は、順列や組み合わせを用いて、条件を満たす並べ方や分け方の総数を求める問題です。

以下に、各問題の詳細な解き方と答えを示します。

**問題1**

(1) $b$ を $a$ で表す問題は、問題文に $b = a$ と書かれているため、$b = a$ となります。

(2) $y = f(x)$ のグラフの頂点が直線 $y = x + 1$ 上にあるとき、$a$ の値を求めます。

$f(x)$ が与えられていないので解けません。

(3) (2) のとき、負の定数 $p$ について、$p \le x \le 0$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値の差が $-2p$ となるような $p$ の値を求める問題です。$f(x)$ が与えられていないので解けません。

**問題2**

(1) 2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ を解きます。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

となります。

(2) (1) の解のうち、正の方を $a$ とするとき、1次不等式 $(a + 1)x > 2a + 7$ を解きます。

$a = -1 + \sqrt{5}$ なので、

$(\sqrt{5})x > 2(-1 + \sqrt{5}) + 7$

$\sqrt{5} x > -2 + 2\sqrt{5} + 7$

$\sqrt{5} x > 5 + 2\sqrt{5}$

$x > \frac{5 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} + 2 = \sqrt{5} + 2$

(3) (2) の $a$、不等式 $(a + 1)x > 2a + 7$ と $2x - k + 1 < 0$ をともに満たす整数 $x$ の値が3個だけあるとき、整数 $k$ の値をすべて求めます。

まず、$2x - k + 1 < 0$ より、$2x < k - 1$ なので、$x < \frac{k - 1}{2}$。

(2) の結果より、$x > \sqrt{5} + 2$ であり、$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$x > 4.236$。

$x$ は整数なので、$x \ge 5$。

$5, 6, 7$ が条件を満たす整数 $x$ の値なので、$x < \frac{k - 1}{2}$ より

$7 < \frac{k - 1}{2} \le 8$

$14 < k - 1 \le 16$

$15 < k \le 17$

$k$ は整数なので、$k = 16, 17$。

**問題3**

(1) A, B, C, D, E の 5 文字を 1 列に並べるとき、A, B, C がこの順になる並べ方は何通りあるか。

まず、5文字を並べる順列は $5! = 120$ 通り。

A, B, C の並び順は 3! = 6 通り。

A, B, C がこの順になるのは、そのうちの1通りなので、$120 / 6 = 20$通り。

(2) 9人の生徒を、2人, 2人, 2人, 3人の4つの組に分ける方法は何通りあるか。

まず、9人から2人を選ぶ組み合わせは $\binom{9}{2}$ 通り。

次に、残りの7人から2人を選ぶ組み合わせは $\binom{7}{2}$ 通り。

さらに、残りの5人から2人を選ぶ組み合わせは $\binom{5}{2}$ 通り。

最後に、残りの3人を選ぶ組み合わせは $\binom{3}{3}$ 通り。

2人組が3つあるので、3! で割る必要がある。

$\frac{\binom{9}{2} \binom{7}{2} \binom{5}{2} \binom{3}{3}}{3!} = \frac{\frac{9 \cdot 8}{2} \cdot \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 1}{6} = \frac{36 \cdot 21 \cdot 10}{6} = 6 \cdot 21 \cdot 10 = 1260$ 通り。

**Aさんを含む4人の男子とBさんを含む3人の女子の計7人からの選び方が不明のため、解けません。**

2. 解き方の手順

上記参照

3. 最終的な答え

問題1: (1) $b = a$、(2),(3) $f(x)$ が与えられていないので解けません。

問題2: (1) $x = -1 \pm \sqrt{5}$、(2) $x > 2 + \sqrt{5}$、(3) $k = 16, 17$

問題3: (1) 20通り、(2) 1260通り