オイラーの公式を用いて、複素数の割り算 $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ を計算する。

1. 問題の内容

オイラーの公式を用いて、複素数の割り算 $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ極形式で表す。

分子: $-2 + 2i$

絶対値 $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

偏角 $\theta_1$: $\tan \theta_1 = \frac{2}{-2} = -1$. $-2+2i$ は第2象限にあるので、$\theta_1 = \frac{3\pi}{4}$

したがって、$-2+2i = 2\sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}}$

分母: $-1 + \sqrt{3}i$

絶対値 $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta_2$: $\tan \theta_2 = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$. $-1 + \sqrt{3}i$ は第2象限にあるので、$\theta_2 = \frac{2\pi}{3}$

したがって、$-1 + \sqrt{3}i = 2 e^{i\frac{2\pi}{3}}$

割り算を行う：

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{2\sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}}}{2 e^{i\frac{2\pi}{3}}} = \sqrt{2} e^{i(\frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3})}$

$\frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{9\pi - 8\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

よって、$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{12}} = \sqrt{2} (\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12})$

$\cos \frac{\pi}{12} = \cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin \frac{\pi}{12} = \sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{12}+2}{4} + i\frac{\sqrt{12}-2}{4} = \frac{2\sqrt{3}+2}{4} + i\frac{2\sqrt{3}-2}{4} = \frac{\sqrt{3}+1}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i$