2つの方程式 $2x^2+kx+4=0$ と $x^2+x+k=0$ がただ一つの共通解を持つような定数 $k$ の値を求め、その共通解を求めよ。

1. 問題の内容

2つの方程式 $2x^2+kx+4=0$ と $x^2+x+k=0$ がただ一つの共通解を持つような定数 $k$ の値を求め、その共通解を求めよ。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、次の2つの式が成り立つ。

$2\alpha^2 + k\alpha + 4 = 0$ ...(1)

$\alpha^2 + \alpha + k = 0$ ...(2)

(1) - (2)×2 より、

$2\alpha^2 + k\alpha + 4 - 2(\alpha^2 + \alpha + k) = 0$

$2\alpha^2 + k\alpha + 4 - 2\alpha^2 - 2\alpha - 2k = 0$

$(k-2)\alpha + 4 - 2k = 0$

$(k-2)\alpha = 2k-4$

$(k-2)\alpha = 2(k-2)$

(i) $k \neq 2$ のとき、$\alpha = 2$。

これを(2)に代入すると、

$2^2 + 2 + k = 0$

$4 + 2 + k = 0$

$k = -6$

このとき、(1)の方程式は $2x^2 - 6x + 4 = 0$ つまり $x^2 - 3x + 2 = 0$。これは $(x-1)(x-2)=0$ より $x=1, 2$。

(2)の方程式は $x^2 + x - 6 = 0$ つまり $(x+3)(x-2)=0$ より $x=-3, 2$。

よって、共通解は $x=2$ となり、条件を満たす。

(ii) $k = 2$ のとき、(1)は $2x^2 + 2x + 4 = 0$ つまり $x^2 + x + 2 = 0$。

判別式は $1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$ より、実数解を持たない。

(2)は $x^2 + x + 2 = 0$ となり、同様に実数解を持たない。

よって、共通解は存在しないので、不適。

したがって、$k = -6$ で、共通解は $x=2$ である。

3. 最終的な答え

$k = -6$, 共通解は $x=2$