$x^2 + 2x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x+2} + 2$ の最小値と、そのときの$x$の値を求めます。ただし、$x > 0$とします。

1. 問題の内容

$x^2 + 2x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x+2} + 2$ の最小値と、そのときの$x$の値を求めます。ただし、$x > 0$とします。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{x} - \frac{2}{x+2}$ を計算します。

$\frac{2}{x} - \frac{2}{x+2} = \frac{2(x+2) - 2x}{x(x+2)} = \frac{2x+4-2x}{x(x+2)} = \frac{4}{x(x+2)} = \frac{4}{x^2+2x}$

元の式に代入すると、

$x^2 + 2x + \frac{4}{x^2+2x} + 2$ となります。

$y = x^2+2x$ と置くと、与えられた式は $y + \frac{4}{y} + 2$ となります。ここで、$x>0$より、$x^2+2x > 0$ なので、$y>0$です。

相加相乗平均の関係より、$y + \frac{4}{y} \geq 2\sqrt{y \cdot \frac{4}{y}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

したがって、$y + \frac{4}{y} + 2 \geq 4 + 2 = 6$

最小値は6となります。このとき、$y = \frac{4}{y}$なので、$y^2 = 4$。$y>0$より、$y = 2$

$x^2 + 2x = 2$ を解きます。

$x^2 + 2x - 2 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

$x > 0$ より、 $x = -1 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

最小値：6

$x$の値：$-1 + \sqrt{3}$