2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 7$ のグラフを、$x$軸方向に$a$、 $y$軸方向に$b$だけ平行移動したところ、$y = 2x^2 + 8x + 17$ のグラフになった。このとき、$a$と$b$の値を求める。問題文より、$a=5$と$a=6$の場合と、$b$の値を求める必要がある。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 7$ のグラフを、$x$軸方向に$a$、 $y$軸方向に$b$だけ平行移動したところ、$y = 2x^2 + 8x + 17$ のグラフになった。このとき、$a$と$b$の値を求める。問題文より、$a=5$と$a=6$の場合と、$b$の値を求める必要がある。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2 - 4x + 7$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 2x) + 7$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 7$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 7$

$y = 2(x - 1)^2 + 5$

次に、$y = 2x^2 + 8x + 17$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 4x) + 17$

$y = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 17$

$y = 2(x + 2)^2 - 8 + 17$

$y = 2(x + 2)^2 + 9$

$y = 2(x - 1)^2 + 5$ を $x$ 軸方向に $a$、 $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、$y = 2(x - 1 - a)^2 + 5 + b$ となる。

これが $y = 2(x + 2)^2 + 9$ と一致するので、

$2(x - 1 - a)^2 + 5 + b = 2(x + 2)^2 + 9$

$x - 1 - a = x + 2$

$-1 - a = 2$

$a = -3$

$5 + b = 9$

$b = 4$

問題文では、$x$軸方向に$5$または$6$だけ平行移動すると書いてあるので、$a=5$と$a=6$の場合を考える。

$x$軸方向に$a$だけ平行移動するとき、$x$を$x-a$に置き換える。

したがって、$y=2x^2-4x+7$を$x$軸方向に$a$、y軸方向に$b$だけ平行移動すると

$y-b = 2(x-a)^2-4(x-a)+7$

$y = 2(x^2-2ax+a^2)-4x+4a+7+b$

$y = 2x^2-4ax+2a^2-4x+4a+7+b$

$y = 2x^2+(-4a-4)x+2a^2+4a+7+b$

これが$y=2x^2+8x+17$と等しくなるので

$-4a-4 = 8$

$2a^2+4a+7+b = 17$

$-4a=12$

$a = -3$

$2(-3)^2+4(-3)+7+b = 17$

$18-12+7+b=17$

$13+b=17$

$b=4$

$a=5$の場合

$-4(5)-4 = -24 \neq 8$なので不適

$a=6$の場合

$-4(6)-4 = -28 \neq 8$なので不適

問題文がおかしい。平行移動の値は $x$軸方向に $-3$, $y$軸方向に $4$ である。

問題文では、x軸方向に5または6だけ平行移動すると書かれている。もし問題文が正しければ、

$x$軸方向に$5$移動すると、

$y = 2(x-5)^2-4(x-5)+7+b = 2(x^2-10x+25)-4x+20+7+b = 2x^2-24x+77+b$

係数比較より、$-24 = 8$となり矛盾する。

$x$軸方向に$6$移動すると、

$y = 2(x-6)^2-4(x-6)+7+b = 2(x^2-12x+36)-4x+24+7+b = 2x^2-28x+103+b$

係数比較より、$-28 = 8$となり矛盾する。

元の問題にはおそらく誤りがあると考え、a = -3, b = 4が正しい。 しかし問題文の形式で答えよとのことなので、強引にa=5または6の場合を考える。

問題文に合うように、$y = 2x^2 - 4x + 7$ を平行移動して、$y = 2x^2 + 8x + 17$ に一致するようにする。

$a=5$のとき、$y=2x^2-4x+7$をx軸方向に5だけ移動すると、$y=2(x-5)^2-4(x-5)+7=2x^2-24x+77$

これに$b$を足して$y=2x^2+8x+17$にしたいので、$2x^2-24x+77+b = 2x^2+8x+17$

$-24x = 8x$でありえない。

$a=6$のとき、$y=2x^2-4x+7$をx軸方向に6だけ移動すると、$y=2(x-6)^2-4(x-6)+7=2x^2-28x+103$

これに$b$を足して$y=2x^2+8x+17$にしたいので、$2x^2-28x+103+b = 2x^2+8x+17$

$-28x = 8x$でありえない。

いずれにせよ問題文がおかしいので、この形式で答えられない。

3. 最終的な答え

問題文の設定では、与えられた条件を満たす $a, b$ は存在しません。問題文に誤りがある可能性があります。正しくは $a=-3$, $b=4$ であると考えられます。

しかし、問題の形式で答えるならば、以下のようにします。

$a=5$のとき、$b = -32x-60$となり、$x$の値に依存する為不適。

$a=6$のとき、$b = -36x-86$となり、$x$の値に依存する為不適。

問題の設定がおかしいので、まともな答えは得られません。