与えられた問題は、二重のシグマ記号で表された数列の和を求める問題です。具体的には、 $\sum_{m=1}^{n} (\sum_{k=1}^{m} k)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、二重のシグマ記号で表された数列の和を求める問題です。具体的には、

$\sum_{m=1}^{n} (\sum_{k=1}^{m} k)$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず内側のシグマを計算します。

$\sum_{k=1}^{m} k$

これは1からmまでの自然数の和なので、次の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$

これを元の式に代入すると、

$\sum_{m=1}^{n} (\sum_{k=1}^{m} k) = \sum_{m=1}^{n} \frac{m(m+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{m=1}^{n} (m^2 + m)$

さらにシグマを展開すると、

$\frac{1}{2} \sum_{m=1}^{n} (m^2 + m) = \frac{1}{2} (\sum_{m=1}^{n} m^2 + \sum_{m=1}^{n} m)$

ここで、$\sum_{m=1}^{n} m^2$ と $\sum_{m=1}^{n} m$ の公式を使います。

$\sum_{m=1}^{n} m^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{m=1}^{n} m = \frac{n(n+1)}{2}$

これらを代入すると、

$\frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2})$

$= \frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6})$

$= \frac{1}{12} n(n+1)(2n+1 + 3)$

$= \frac{1}{12} n(n+1)(2n+4)$

$= \frac{1}{12} n(n+1)2(n+2)$

$= \frac{1}{6} n(n+1)(n+2)$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$