第10項が61、第25項が31である等差数列 $\{a_n\}$ がある。 (1) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n$ が最大になるときの $n$ とそのときの $S_n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

第10項が61、第25項が31である等差数列 $\{a_n\}$ がある。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n$ が最大になるときの $n$ とそのときの $S_n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を求める。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差である。

問題文より、第10項が61なので、

$a_{10} = a_1 + 9d = 61$

また、第25項が31なので、

$a_{25} = a_1 + 24d = 31$

この2つの式から $a_1$ と $d$ を求める。

2つの式を連立させて解くと、

$a_1 + 24d = 31$

$a_1 + 9d = 61$

上の式から下の式を引くと、

$15d = -30$

$d = -2$

$d = -2$ を $a_1 + 9d = 61$ に代入すると、

$a_1 + 9(-2) = 61$

$a_1 - 18 = 61$

$a_1 = 79$

したがって、一般項 $a_n$ は

$a_n = 79 + (n-1)(-2) = 79 - 2n + 2 = 81 - 2n$

$a_n = 81 - 2n$

(2) $S_n$ が最大になる $n$ とそのときの $S_n$ を求める。

等差数列の和 $S_n$ は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ で表される。

$S_n = \frac{n}{2}(79 + 81 - 2n) = \frac{n}{2}(160 - 2n) = n(80 - n) = 80n - n^2$

$S_n$ が最大になるのは、$a_n$ が正である最後の $n$ である。

$a_n = 81 - 2n > 0$

$2n < 81$

$n < 40.5$

$n$ は整数なので、$n = 40$ のとき $S_n$ は最大になる。

$S_{40} = 40(80 - 40) = 40(40) = 1600$

よって、$S_n$ が最大になるのは $n = 40$ のときで、$S_{40} = 1600$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 81 - 2n$

(2) $n = 40$, $S_{40} = 1600$