2次関数 $y = x^2 + 2mx + m + 2$ のグラフがx軸に接するように、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx + m + 2$ のグラフがx軸に接するように、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

グラフがx軸に接するということは、$x^2 + 2mx + m + 2 = 0$ が重解を持つということです。

重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ を満たすことです。

この問題では、$a = 1$, $b = 2m$, $c = m + 2$ なので、判別式は以下のようになります。

$D = (2m)^2 - 4(1)(m + 2)$

$D = 4m^2 - 4m - 8$

$D = 4(m^2 - m - 2)$

$D = 4(m - 2)(m + 1)$

$D = 0$ となる $m$ の値を求めます。

$4(m - 2)(m + 1) = 0$

$(m - 2)(m + 1) = 0$

$m = 2, -1$

次に、$m = 2$ のときと、$m = -1$ のときの接点の座標を求めます。

$m = 2$ のとき、$y = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ なので、接点は $(-2, 0)$ です。

$m = -1$ のとき、$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ なので、接点は $(1, 0)$ です。

3. 最終的な答え

$m = 2$ のとき、接点の座標は $(-2, 0)$

$m = -1$ のとき、接点の座標は $(1, 0)$