与えられた二重和を計算します。式は $\sum_{m=1}^{n} (\sum_{k=1}^{m} k)$ です。

1. 問題の内容

与えられた二重和を計算します。式は $\sum_{m=1}^{n} (\sum_{k=1}^{m} k)$ です。

2. 解き方の手順

まず、内側の和を計算します。$\sum_{k=1}^{m} k$ は、1からmまでの整数の和であり、これは公式 $\frac{m(m+1)}{2}$ で計算できます。

$\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$

次に、この結果を外側の和に代入します。

$\sum_{m=1}^{n} \frac{m(m+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{m=1}^{n} (m^2 + m) = \frac{1}{2} (\sum_{m=1}^{n} m^2 + \sum_{m=1}^{n} m)$

$\sum_{m=1}^{n} m = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{m=1}^{n} m^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって、

$\frac{1}{2} (\sum_{m=1}^{n} m^2 + \sum_{m=1}^{n} m) = \frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2})$

$= \frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6})$

$= \frac{1}{12} n(n+1) (2n+1 + 3)$

$= \frac{1}{12} n(n+1) (2n+4)$

$= \frac{1}{12} n(n+1) 2(n+2)$

$= \frac{1}{6} n(n+1)(n+2)$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$