関数 $y = -3 \cdot 4^x + 2^{x+3}$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -3 \cdot 4^x + 2^{x+3}$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2^x = t$ と置換します。このとき、$t > 0$ です。すると、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ となり、関数は次のように書き換えられます。

$y = -3t^2 + 2^{x+3} = -3t^2 + 2^x \cdot 2^3 = -3t^2 + 8t$

次に、この2次関数を平方完成します。

$y = -3(t^2 - \frac{8}{3}t) = -3(t^2 - \frac{8}{3}t + (\frac{4}{3})^2 - (\frac{4}{3})^2) = -3((t-\frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9})$

$y = -3(t-\frac{4}{3})^2 + \frac{16}{3}$

この式から、$t = \frac{4}{3}$ のとき、最大値 $\frac{16}{3}$ をとることがわかります。

$t = 2^x = \frac{4}{3}$ なので、$x = \log_2{\frac{4}{3}} = \log_2{4} - \log_2{3} = 2 - \log_2{3}$

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{16}{3}$

そのときの $x$ の値：$2 - \log_2{3}$