多項式 $x^3 + kx^2 - 3$ を $x+2$ で割った余りが1となるように、定数 $k$ の値を求めよ。

## 問題7

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + kx^2 - 3$ を $x+2$ で割った余りが1となるように、定数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余りの定理より、多項式 $P(x)$ を $x-a$ で割った余りは $P(a)$ である。

したがって、$x^3 + kx^2 - 3$ を $x+2$ で割った余りは、 $x=-2$ を代入した値である。

つまり、$(-2)^3 + k(-2)^2 - 3 = 1$ が成り立つ。

これを解いて、$k$ の値を求める。

$(-2)^3 + k(-2)^2 - 3 = 1$

$-8 + 4k - 3 = 1$

$4k - 11 = 1$

$4k = 12$

$k = 3$

3. 最終的な答え

$k=3$

## 問題8(1)

1. 問題の内容

$x^3 - 2x^2 - x + 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、因数定理を利用する。

まず、いくつかの整数値を $x$ に代入してみて、式が0になる値を探す。

$x=1$ を代入すると $1^3 - 2(1)^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$ となる。

したがって、$x-1$ は与えられた式の因数である。

次に、与えられた式を $x-1$ で割る。

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x-1)(x^2 - x - 2)$

次に、$x^2 - x - 2$ を因数分解する。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

したがって、与えられた式は

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x-1)(x-2)(x+1)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(x-2)(x+1)$

## 問題8(2)

1. 問題の内容

$x^3 - x^2 - 8x + 12$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、因数定理を利用する。

まず、いくつかの整数値を $x$ に代入してみて、式が0になる値を探す。

$x=2$ を代入すると $2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 0$ となる。

したがって、$x-2$ は与えられた式の因数である。

次に、与えられた式を $x-2$ で割る。

$x^3 - x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x^2 + x - 6)$

次に、$x^2 + x - 6$ を因数分解する。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

したがって、与えられた式は

$x^3 - x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x+3)(x-2) = (x-2)^2(x+3)$

3. 最終的な答え

$(x-2)^2(x+3)$

## 問題8(3)

1. 問題の内容

$2x^3 + 9x^2 + 13x + 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、因数定理を利用する。

まず、いくつかの整数値を $x$ に代入してみて、式が0になる値を探す。

$x=-1$ を代入すると $2(-1)^3 + 9(-1)^2 + 13(-1) + 6 = -2 + 9 - 13 + 6 = 0$ となる。

したがって、$x+1$ は与えられた式の因数である。

次に、与えられた式を $x+1$ で割る。

$2x^3 + 9x^2 + 13x + 6 = (x+1)(2x^2 + 7x + 6)$

次に、$2x^2 + 7x + 6$ を因数分解する。

$2x^2 + 7x + 6 = (2x+3)(x+2)$

したがって、与えられた式は

$2x^3 + 9x^2 + 13x + 6 = (x+1)(2x+3)(x+2)$

3. 最終的な答え

$(x+1)(2x+3)(x+2)$

## 問題8(4)

1. 問題の内容

$3x^3 - 8x^2 - 15x - 4$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、因数定理を利用する。

まず、いくつかの整数値を $x$ に代入してみて、式が0になる値を探す。

$x=-\frac{1}{3}$ を代入すると $3(-\frac{1}{3})^3 - 8(-\frac{1}{3})^2 - 15(-\frac{1}{3}) - 4 = -\frac{1}{9} - \frac{8}{9} + 5 - 4 = -1 + 1 = 0$ となる。

したがって、$x+\frac{1}{3}$ は与えられた式の因数である。

つまり、$3x+1$ も因数である。

次に、与えられた式を $3x+1$ で割る。

$3x^3 - 8x^2 - 15x - 4 = (3x+1)(x^2 - 3x - 4)$

次に、$x^2 - 3x - 4$ を因数分解する。

$x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$

したがって、与えられた式は

$3x^3 - 8x^2 - 15x - 4 = (3x+1)(x-4)(x+1)$

3. 最終的な答え

$(3x+1)(x-4)(x+1)$

## 問題9(1)

1. 問題の内容

$x^3 - 7x + 6 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を解くために、因数定理を利用する。

まず、いくつかの整数値を $x$ に代入してみて、式が0になる値を探す。

$x=1$ を代入すると $1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$ となる。

したがって、$x-1$ は $x^3 - 7x + 6$ の因数である。

次に、$x^3 - 7x + 6$ を $x-1$ で割る。

$x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x^2 + x - 6)$

次に、$x^2 + x - 6 = 0$ を解く。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

したがって、$(x-1)(x+3)(x-2) = 0$

よって $x = 1, -3, 2$

3. 最終的な答え

$x = 1, -3, 2$

## 問題9(2)

1. 問題の内容

$2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を解くために、因数定理を利用する。

まず、いくつかの整数値を $x$ に代入してみて、式が0になる値を探す。

$x=1$ を代入すると $2(1)^3 - 7(1)^2 + 2(1) + 3 = 2 - 7 + 2 + 3 = 0$ となる。

したがって、$x-1$ は $2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$ の因数である。

次に、$2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$ を $x-1$ で割る。

$2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = (x-1)(2x^2 - 5x - 3)$

次に、$2x^2 - 5x - 3 = 0$ を解く。

$2x^2 - 5x - 3 = (2x+1)(x-3)$

したがって、$(x-1)(2x+1)(x-3) = 0$

よって $x = 1, -\frac{1}{2}, 3$

3. 最終的な答え

$x = 1, -\frac{1}{2}, 3$

## 問題9(3)

1. 問題の内容

$x^3 + 5x^2 - 4 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を解くために、因数定理を利用する。

まず、いくつかの整数値を $x$ に代入してみて、式が0になる値を探す。

$x=1$ を代入すると $1^3 + 5(1)^2 - 4 = 1 + 5 - 4 = 2$ となる。

$x=-1$ を代入すると $(-1)^3 + 5(-1)^2 - 4 = -1 + 5 - 4 = 0$ となる。

したがって、$x+1$ は $x^3 + 5x^2 - 4$ の因数である。

次に、$x^3 + 5x^2 - 4$ を $x+1$ で割る。

$x^3 + 5x^2 - 4 = (x+1)(x^2 + 4x - 4)$

次に、$x^2 + 4x - 4 = 0$ を解く。

解の公式より、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$(x+1)(x + 2 - 2\sqrt{2})(x + 2 + 2\sqrt{2}) = 0$

よって $x = -1, -2 + 2\sqrt{2}, -2 - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$x = -1, -2 + 2\sqrt{2}, -2 - 2\sqrt{2}$

## 問題9(4)

1. 問題の内容

$x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を解くために、因数定理を利用する。

まず、いくつかの整数値を $x$ に代入してみて、式が0になる値を探す。

$x=2$ を代入すると $2^4 + 2^3 - 2(2)^2 - 4(2) - 8 = 16 + 8 - 8 - 8 - 8 = 0$ となる。

したがって、$x-2$ は $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8$ の因数である。

次に、$x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8$ を $x-2$ で割る。

$x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = (x-2)(x^3 + 3x^2 + 4x + 4)$

次に、$x^3 + 3x^2 + 4x + 4 = 0$ を解く。

$x=-2$ を代入すると $(-2)^3 + 3(-2)^2 + 4(-2) + 4 = -8 + 12 - 8 + 4 = 0$ となる。

したがって、$x+2$ は $x^3 + 3x^2 + 4x + 4$ の因数である。

次に、$x^3 + 3x^2 + 4x + 4$ を $x+2$ で割る。

$x^3 + 3x^2 + 4x + 4 = (x+2)(x^2 + x + 2)$

次に、$x^2 + x + 2 = 0$ を解く。

解の公式より、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

したがって、$(x-2)(x+2)(x - \frac{-1 + i\sqrt{7}}{2})(x - \frac{-1 - i\sqrt{7}}{2}) = 0$

よって $x = 2, -2, \frac{-1 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 2, -2, \frac{-1 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{7}}{2}$