関数 $y = -3 \cdot 4^x + 2^x + 3$ の最大値と、そのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -3 \cdot 4^x + 2^x + 3$ の最大値と、そのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$2^x = t$ とおくと、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ となります。

よって、$y$ は $t$ の関数として以下のように表されます。

$y = -3t^2 + t + 3$

この2次関数を平方完成します。

$y = -3(t^2 - \frac{1}{3}t) + 3$

$y = -3(t^2 - \frac{1}{3}t + (\frac{1}{6})^2 - (\frac{1}{6})^2) + 3$

$y = -3(t - \frac{1}{6})^2 + 3 \cdot \frac{1}{36} + 3$

$y = -3(t - \frac{1}{6})^2 + \frac{1}{12} + 3$

$y = -3(t - \frac{1}{6})^2 + \frac{37}{12}$

$t = \frac{1}{6}$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{37}{12}$ を取ります。

$t = 2^x$ なので、$2^x = \frac{1}{6}$ です。

両辺の対数をとると、$x \log 2 = \log \frac{1}{6} = -\log 6$

$x = \frac{-\log 6}{\log 2} = - \log_2 6$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{37}{12}$

$x$ の値: $- \log_2 6$