4次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{pmatrix}$ が与えられている。 (1) $A$ の行列式 $|A|$ の値を求めよ。 (2) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (3,4) 成分を求めよ。

1. 問題の内容

4次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{pmatrix}$ が与えられている。

(1) $A$ の行列式 $|A|$ の値を求めよ。

(2) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (3,4) 成分を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $|A|$ を求める。

まず、行列を簡略化するために行基本変形を行う。

1行目を2倍して3行目から引く、1行目を-1倍して4行目から引くと

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ -6 & 8 & -4 & -6 \end{pmatrix}$

1行目を2倍して4行目に足すと

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & -4 \end{pmatrix}$

2行目を3倍して4行目に足すと

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 18 & 3 & -7 \end{pmatrix}$

3行目を6倍して4行目に足すと

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & -33 & -7 \end{pmatrix}$

この行列の行列式を計算する。

$|A| = 3 \begin{vmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -3 & -6 & 0 \\ 0 & -33 & -7 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & -33 & -7 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} -2 & 4 & -1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -7 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -2 & 4 & 1 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & -33 \end{vmatrix}$

$= 3(4(42-0)-1(21-0)-1(99-0)) + (-2(-6 \cdot -7 - 0) ) + 2 (-21 * -2 * -7)+ (-2 \cdot -3 \cdot -33)$

$= 3(168 - 21 - 99) + 1(-2 \cdot 42)+2 ( -2\cdot (-3)(-7) ) + (-2(-3)(-33))$

$= 3(48)+ 84-2(42) +(-2 \times -3 \times -33)$

$=144 + 84 - 84 -198=144 - 198 = -54$

(2) $A^{-1}$ の (3,4) 成分を求める。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$

$A^{-1}$ の (3,4) 成分は $\frac{1}{|A|} C_{4,3}$ であり、$C_{4,3}$ は $A$ の (4,3) 余因子である。

$C_{4,3} = (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -1 \\ 6 & -5 & 2 \end{vmatrix} = - (3(8-5) - (-1)(-4+6) + 1(10-24)) = -(3(3) + 1(2) + 1(-14)) = -(9+2-14) = -(-3)=3$

$A^{-1}$ の (3,4) 成分 = $\frac{1}{|A|} C_{4,3} = \frac{1}{-54} \cdot 3 = -\frac{3}{54} = -\frac{1}{18}$

3. 最終的な答え

(1) $|A| = -54$

(2) $A^{-1}$ の (3,4) 成分 = $-\frac{1}{18}$