行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める問題です。固有方程式をきちんと書き、固有ベクトルの定数 $k$ について「$k$ はゼロ以外の任意の実数」と記載する必要があります。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める問題です。固有方程式をきちんと書き、固有ベクトルの定数 $k$ について「$k$ はゼロ以外の任意の実数」と記載する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 固有方程式を立てる:

行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式は以下のように表されます。

$|A - \lambda I| = 0$

ここで、$I$ は単位行列です。 具体的には、

$\begin{vmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ 3 & -2 - \lambda \end{vmatrix} = 0$

(2) 固有方程式を解く:

上の行列式を展開すると、

$(2 - \lambda)(-2 - \lambda) - (-1)(3) = 0$

$-4 - 2\lambda + 2\lambda + \lambda^2 + 3 = 0$

$\lambda^2 - 1 = 0$

$(\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = -1$ です。

(3) 各固有値に対する固有ベクトルを求める:

- $\lambda_1 = 1$ のとき:

$(A - \lambda_1 I) \vec{v} = 0$

$\begin{pmatrix} 2 - 1 & -1 \\ 3 & -2 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立方程式は $x - y = 0$ と $3x - 3y = 0$ を意味し、どちらも $x = y$ を意味します。

したがって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

$k$ をゼロ以外の任意の実数とすると、固有ベクトルは $k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と表せます。

- $\lambda_2 = -1$ のとき:

$(A - \lambda_2 I) \vec{v} = 0$

$\begin{pmatrix} 2 - (-1) & -1 \\ 3 & -2 - (-1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立方程式は $3x - y = 0$ を意味します。

したがって、$y = 3x$ となり、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} x \\ 3x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ となります。

$k$ をゼロ以外の任意の実数とすると、固有ベクトルは $k \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ と表せます。

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$

固有ベクトル:

- $\lambda_1 = 1$ に対する固有ベクトル: $k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ($k$ はゼロ以外の任意の実数)

- $\lambda_2 = -1$ に対する固有ベクトル: $k \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ($k$ はゼロ以外の任意の実数)