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## 解答

代数学行列式最大公約数素因数分解
2025/7/9
## 解答
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1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つの小問題から構成されています。
(1) 与えられた行列の行列式を求める問題。行列の要素は aa と bb で構成されています。
(2) 与えられた3つの数の最大公約数を求める問題。各数は素因数分解された形で与えられています。
(3) 与えられた行列の行列式を求める問題。行列の要素は aia_i と xx で構成されています。
(4) 与えられた行列の行列式を求める問題。行列の要素は a,b,c,da, b, c, d で構成されています。
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2. 解き方の手順

**(1) 行列式の計算**
与えられた行列は以下の通りです。
$\begin{pmatrix}
a & 0 & 0 & 0 & b \\
b & a & 0 & 0 & 0 \\
0 & b & a & 0 & 0 \\
0 & 0 & b & a & 0 \\
0 & 0 & 0 & b & a
\end{pmatrix}$
この行列式を計算します。1列目に関して余因子展開を行うと、
$a \begin{vmatrix}
a & 0 & 0 & 0 \\
b & a & 0 & 0 \\
0 & b & a & 0 \\
0 & 0 & b & a
\end{vmatrix} - b \begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & b \\
b & a & 0 & 0 \\
0 & b & a & 0 \\
0 & 0 & b & a
\end{vmatrix}$
a(a4)−b(−b(b3))=a5+b5a(a^4) - b(-b(b^3)) = a^5 + b^5
**(2) 最大公約数の計算**
与えられた数は 322252723^2 2^2 5^2 7^2, 322353733^2 2^3 5^3 7^3, 332557733^3 2^5 5^7 7^3 です。
最大公約数(GCD)は、各素因数に対して、3つの数の中で最も小さい指数を取ります。
* 3の指数: min(2, 2, 3) = 2
* 2の指数: min(2, 3, 5) = 2
* 5の指数: min(2, 3, 7) = 2
* 7の指数: min(2, 3, 3) = 2
したがって、最大公約数は 322252723^2 2^2 5^2 7^2 です。
**(3) 行列式の計算**
与えられた行列は以下の通りです。
$\begin{pmatrix}
a_0 & -1 & 0 & 0 \\
a_1 & x & -1 & 0 \\
a_2 & 0 & x & -1 \\
a_3 & 0 & 0 & x
\end{pmatrix}$
この行列式を計算します。1列目に関して余因子展開を行うと、
$a_0 \begin{vmatrix}
x & -1 & 0 \\
0 & x & -1 \\
0 & 0 & x
\end{vmatrix} - a_1 \begin{vmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & x & -1 \\
0 & 0 & x
\end{vmatrix} + a_2 \begin{vmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
x & -1 & 0 \\
0 & 0 & x
\end{vmatrix} - a_3 \begin{vmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
x & -1 & 0 \\
0 & x & -1
\end{vmatrix}$
=a0(x3)−a1(−x2)+a2(−x)−a3(1)= a_0(x^3) - a_1(-x^2) + a_2(-x) - a_3(1)
=a0x3+a1x2−a2x−a3= a_0 x^3 + a_1 x^2 - a_2 x - a_3
**(4) 行列式の計算**
与えられた行列は以下の通りです。
$\begin{pmatrix}
1 & a & b & c+d \\
1 & b & c & d+a \\
1 & c & d & a+b \\
1 & d & a & b+c
\end{pmatrix}$
2行目から1行目を引く、3行目から1行目を引く、4行目から1行目を引く操作を行うと
$\begin{pmatrix}
1 & a & b & c+d \\
0 & b-a & c-b & a-c \\
0 & c-a & d-b & b-d \\
0 & d-a & a-b & b+c-c-d
\end{pmatrix}$
=$\begin{pmatrix}
1 & a & b & c+d \\
0 & b-a & c-b & a-c \\
0 & c-a & d-b & b-d \\
0 & d-a & a-b & b-d
\end{pmatrix}$
1列目の余因子展開を行うと
$\begin{vmatrix}
b-a & c-b & a-c \\
c-a & d-b & b-d \\
d-a & a-b & b-d
\end{vmatrix}$
=(b−a)((d−b)(b−d)−(b−d)(a−b))−(c−b)((c−a)(b−d)−(b−d)(d−a))+(a−c)((c−a)(a−b)−(d−b)(d−a))= (b-a)((d-b)(b-d) - (b-d)(a-b)) - (c-b)((c-a)(b-d) - (b-d)(d-a))+(a-c)((c-a)(a-b) - (d-b)(d-a))
=(b−a)(bd−d2−b2+bd−ab+b2+ad−bd)−(c−b)(bc−cd−ab+ad−bd+d2+ad−ad)+(a−c)(ac−bc−a2+ab−d2+ad+bd−ab)= (b-a)(bd-d^2-b^2+bd - ab +b^2+ad-bd) - (c-b)(bc-cd-ab+ad - bd+d^2+ad -ad) + (a-c)(ac-bc -a^2+ab - d^2+ad +bd-ab)
=(b−a)(bd−d2−ab+ad)−(c−b)(bc−cd−ab+ad−bd+d2+ad−ad)+(a−c)(ac−bc−a2+ab−d2+ad+bd−ab)= (b-a)(bd-d^2-ab +ad) - (c-b)(bc-cd-ab +ad - bd+d^2+ad -ad) + (a-c)(ac-bc -a^2+ab - d^2+ad +bd-ab)
=(b−a)(2bd−d2−b2−ab+ad)−(c−b)((b−d)(c−a)+d(d−b))= (b-a)(2bd-d^2-b^2 -ab +ad) - (c-b)((b-d)(c-a) +d(d-b))
かなり複雑になります。別の方法を試します。
1列目を2列目、3列目、4列目に足すと
$\begin{pmatrix}
1+a+b+c+d & a & b & c+d \\
1+a+b+c+d & b & c & d+a \\
1+a+b+c+d & c & d & a+b \\
1+a+b+c+d & d & a & b+c
\end{pmatrix}$
1列目の共通因子 (1+a+b+c+d)(1+a+b+c+d) をくくり出すと
(1+a+b+c+d)∣abc+dbcd+acda+bdab+c∣(1+a+b+c+d) \begin{vmatrix} a & b & c+d \\ b & c & d+a \\ c & d & a+b \\ d & a & b+c \end{vmatrix}
(4)の正解は0です。行列式を計算しなくても、
1列目 + 2列目 + 3列目 = 4列目になるため、1次従属で行列式は0になります。
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3. 最終的な答え

(1) a5+b5a^5 + b^5
(2) 32225272=441003^2 2^2 5^2 7^2 = 44100
(3) a0x3+a1x2−a2x−a3a_0 x^3 + a_1 x^2 - a_2 x - a_3
(4) 0

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