x, y, z の1次方程式 $x + y + z = 2k - 1$ ...(1) について、以下の2つの問題に答える。ただし、定数 $k$ は $k \geq 6$ を満たす整数とする。 (1) 方程式(1)の整数解 $(x, y, z)$ のうち、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ をすべて満たすものは全部で何個あるか、$k$ を用いて表せ。 (2) (1)のうち、$x \leq k$ を満たすものは全部で何個あるか、$k$ を用いて表せ。
2025/7/9
1. 問題の内容
x, y, z の1次方程式 ...(1) について、以下の2つの問題に答える。ただし、定数 は を満たす整数とする。
(1) 方程式(1)の整数解 のうち、, , をすべて満たすものは全部で何個あるか、 を用いて表せ。
(2) (1)のうち、 を満たすものは全部で何個あるか、 を用いて表せ。
2. 解き方の手順
(1) , , とおくと、 である。
(1)の式に代入すると、
この非負整数解の個数を求める。これは、 個のものを3つのグループに分ける場合の数に等しい。
仕切りを2つ入れることを考えると、合計 個の中から仕切りを入れる2個の場所を選ぶ組み合わせの数となる。
したがって、求める個数は
(2) (1)で求めた解のうち、 となるものを考える。
なので、 とおくと、 である。
(1)の式に代入すると、
ここで、, とおくと、, である。
この非負整数解の個数は、 個である。
したがって、 を満たすものの個数は、(1)で求めた個数から を満たすものの個数を引けばよい。
3. 最終的な答え
(1)
(2)