x, y, z の1次方程式 $x + y + z = 2k - 1$ ...(1) について、以下の2つの問題に答える。ただし、定数 $k$ は $k \geq 6$ を満たす整数とする。 (1) 方程式(1)の整数解 $(x, y, z)$ のうち、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ をすべて満たすものは全部で何個あるか、$k$ を用いて表せ。 (2) (1)のうち、$x \leq k$ を満たすものは全部で何個あるか、$k$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

x, y, z の1次方程式 $x + y + z = 2k - 1$ ...(1) について、以下の2つの問題に答える。ただし、定数 $k$ は $k \geq 6$ を満たす整数とする。

(1) 方程式(1)の整数解 $(x, y, z)$ のうち、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ をすべて満たすものは全部で何個あるか、$k$ を用いて表せ。

(2) (1)のうち、$x \leq k$ を満たすものは全部で何個あるか、$k$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z' \geq 0$ である。

(1)の式に代入すると、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 2k - 1$

$x' + y' + z' = 2k - 4$

この非負整数解の個数を求める。これは、$2k - 4$ 個のものを3つのグループに分ける場合の数に等しい。

仕切りを2つ入れることを考えると、合計 $2k - 4 + 2 = 2k - 2$ 個の中から仕切りを入れる2個の場所を選ぶ組み合わせの数となる。

したがって、求める個数は

$_{2k-2}C_2 = \frac{(2k-2)(2k-3)}{2} = (k-1)(2k-3) = 2k^2 - 5k + 3$

(2) (1)で求めた解のうち、$x > k$ となるものを考える。

$x > k$ なので、$x'' = x - k - 1$ とおくと、$x'' \geq 0$ である。

(1)の式に代入すると、

$(x'' + k + 1) + y + z = 2k - 1$

$x'' + y + z = k - 2$

ここで、$y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$y' \geq 0$, $z' \geq 0$ である。

$x'' + (y' + 1) + (z' + 1) = k - 2$

$x'' + y' + z' = k - 4$

この非負整数解の個数は、$_{k-4+2}C_2 = _{k-2}C_2 = \frac{(k-2)(k-3)}{2} = \frac{k^2 - 5k + 6}{2}$ 個である。

したがって、$x \leq k$ を満たすものの個数は、(1)で求めた個数から$x > k$ を満たすものの個数を引けばよい。

$(2k^2 - 5k + 3) - \frac{k^2 - 5k + 6}{2} = \frac{4k^2 - 10k + 6 - k^2 + 5k - 6}{2} = \frac{3k^2 - 5k}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2k^2 - 5k + 3$

(2) $\frac{3k^2 - 5k}{2}$