方程式 $|x-2| + |2x+1| = 3$ を解く問題です。

1. 問題の内容

方程式 $|x-2| + |2x+1| = 3$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式なので、絶対値の中の符号が変化する点で場合分けを行います。

$x-2 = 0$ となるのは $x=2$ のときであり、$2x+1=0$ となるのは $x=-\frac{1}{2}$ のときです。

したがって、次の3つの場合に分けて考えます。

(i) $x < -\frac{1}{2}$ のとき

このとき、$x-2 < 0$ かつ $2x+1 < 0$ であるから、

$|x-2| = -(x-2) = -x+2$

$|2x+1| = -(2x+1) = -2x-1$

となるので、方程式は

$(-x+2) + (-2x-1) = 3$

$-3x + 1 = 3$

$-3x = 2$

$x = -\frac{2}{3}$

これは $x < -\frac{1}{2}$ を満たします。

(ii) $-\frac{1}{2} \le x < 2$ のとき

このとき、$x-2 < 0$ かつ $2x+1 \ge 0$ であるから、

$|x-2| = -(x-2) = -x+2$

$|2x+1| = 2x+1$

となるので、方程式は

$(-x+2) + (2x+1) = 3$

$x + 3 = 3$

$x = 0$

これは $-\frac{1}{2} \le x < 2$ を満たします。

(iii) $x \ge 2$ のとき

このとき、$x-2 \ge 0$ かつ $2x+1 > 0$ であるから、

$|x-2| = x-2$

$|2x+1| = 2x+1$

となるので、方程式は

$(x-2) + (2x+1) = 3$

$3x - 1 = 3$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

これは $x \ge 2$ を満たしません。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{2}{3}, 0$