方程式 $|x-2| + |2x+1| = 3$ を解く問題です。

代数学絶対値方程式場合分け
2025/7/9

1. 問題の内容

方程式 x2+2x+1=3|x-2| + |2x+1| = 3 を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式なので、絶対値の中の符号が変化する点で場合分けを行います。
x2=0x-2 = 0 となるのは x=2x=2 のときであり、2x+1=02x+1=0 となるのは x=12x=-\frac{1}{2} のときです。
したがって、次の3つの場合に分けて考えます。
(i) x<12x < -\frac{1}{2} のとき
このとき、x2<0x-2 < 0 かつ 2x+1<02x+1 < 0 であるから、
x2=(x2)=x+2|x-2| = -(x-2) = -x+2
2x+1=(2x+1)=2x1|2x+1| = -(2x+1) = -2x-1
となるので、方程式は
(x+2)+(2x1)=3(-x+2) + (-2x-1) = 3
3x+1=3-3x + 1 = 3
3x=2-3x = 2
x=23x = -\frac{2}{3}
これは x<12x < -\frac{1}{2} を満たします。
(ii) 12x<2-\frac{1}{2} \le x < 2 のとき
このとき、x2<0x-2 < 0 かつ 2x+102x+1 \ge 0 であるから、
x2=(x2)=x+2|x-2| = -(x-2) = -x+2
2x+1=2x+1|2x+1| = 2x+1
となるので、方程式は
(x+2)+(2x+1)=3(-x+2) + (2x+1) = 3
x+3=3x + 3 = 3
x=0x = 0
これは 12x<2-\frac{1}{2} \le x < 2 を満たします。
(iii) x2x \ge 2 のとき
このとき、x20x-2 \ge 0 かつ 2x+1>02x+1 > 0 であるから、
x2=x2|x-2| = x-2
2x+1=2x+1|2x+1| = 2x+1
となるので、方程式は
(x2)+(2x+1)=3(x-2) + (2x+1) = 3
3x1=33x - 1 = 3
3x=43x = 4
x=43x = \frac{4}{3}
これは x2x \ge 2 を満たしません。

3. 最終的な答え

x=23,0x = -\frac{2}{3}, 0

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