多項式 $P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2x + 2a$ を $x+1$ で割った余りが $3$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2x + 2a$ を $x+1$ で割った余りが $3$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(x)$ を $x+1$ で割った余りは $P(-1)$ に等しい。

したがって、$P(-1) = 3$ が成り立つ。

$P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2x + 2a$ に $x = -1$ を代入すると、

$P(-1) = (-1)^4 + 5(-1)^2 + a^2(-1) + 2a$

$P(-1) = 1 + 5 - a^2 + 2a$

$P(-1) = 6 - a^2 + 2a$

$P(-1) = -a^2 + 2a + 6$

条件より $P(-1) = 3$ であるから、

$-a^2 + 2a + 6 = 3$

$-a^2 + 2a + 3 = 0$

$a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a-3)(a+1) = 0$

よって、$a = 3, -1$

3. 最終的な答え

$a = -1, 3$