定数 $k$ が与えられたとき、2次関数 $y = x^2 + 4kx + 24k$ の最小値を $m(k)$ とします。 (1) $m(k)$ を $k$ の式で表しなさい。 (2) $m(k)$ を最大にする $k$ の値と、$m(k)$ の最大値を求めなさい。

1. 問題の内容

定数 $k$ が与えられたとき、2次関数 $y = x^2 + 4kx + 24k$ の最小値を $m(k)$ とします。

(1) $m(k)$ を $k$ の式で表しなさい。

(2) $m(k)$ を最大にする $k$ の値と、$m(k)$ の最大値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 4kx + 24k$ を平方完成します。

$y = (x + 2k)^2 - 4k^2 + 24k$

$y$ は $x = -2k$ で最小値をとるので、最小値 $m(k)$ は

$m(k) = -4k^2 + 24k$

(2) $m(k) = -4k^2 + 24k$ を最大にする $k$ の値を求めます。$m(k)$ を平方完成します。

$m(k) = -4(k^2 - 6k) = -4(k^2 - 6k + 9 - 9) = -4((k - 3)^2 - 9) = -4(k - 3)^2 + 36$

$m(k)$ は $k = 3$ のとき最大値 $36$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $m(k) = -4k^2 + 24k$

(2) $k = 3$ のとき、最大値 $36$ をとる。