与えられた式 $4x^2 - 20xy - 56y^2$ を因数分解する。

代数学因数分解二次式多項式
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた式 4x220xy56y24x^2 - 20xy - 56y^2 を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、すべての項に共通の因数がないか確認します。
この場合、すべての項が4で割り切れるので、4を括り出すことができます。
4x220xy56y2=4(x25xy14y2)4x^2 - 20xy - 56y^2 = 4(x^2 - 5xy - 14y^2)
次に、括弧の中の二次式 x25xy14y2x^2 - 5xy - 14y^2 を因数分解します。
x25xy14y2x^2 - 5xy - 14y^2(x+ay)(x+by)(x + ay)(x + by) の形に因数分解することを考えます。ここで、aabb は定数です。
x25xy14y2=(x+ay)(x+by)=x2+(a+b)xy+aby2x^2 - 5xy - 14y^2 = (x + ay)(x + by) = x^2 + (a+b)xy + aby^2
となるためには、a+b=5a + b = -5 かつ ab=14ab = -14 となるような aabb を見つける必要があります。
ab=14ab = -14 となる整数 aabb の組み合わせは、(1,14)(1, -14), (1,14)(-1, 14), (2,7)(2, -7), (2,7)(-2, 7) などです。
このうち、a+b=5a+b = -5 となるのは、(2,7)(2, -7) の組み合わせです。つまり、a=2a = 2b=7b = -7 です。
したがって、x25xy14y2=(x+2y)(x7y)x^2 - 5xy - 14y^2 = (x + 2y)(x - 7y) となります。
元の式に適用すると、
4(x25xy14y2)=4(x+2y)(x7y)4(x^2 - 5xy - 14y^2) = 4(x + 2y)(x - 7y)

3. 最終的な答え

4(x+2y)(x7y)4(x+2y)(x-7y)

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