与えられた式 $4x^2 - 20xy - 56y^2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2 - 20xy - 56y^2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、すべての項に共通の因数がないか確認します。

この場合、すべての項が4で割り切れるので、4を括り出すことができます。

$4x^2 - 20xy - 56y^2 = 4(x^2 - 5xy - 14y^2)$

次に、括弧の中の二次式 $x^2 - 5xy - 14y^2$ を因数分解します。

$x^2 - 5xy - 14y^2$ を $(x + ay)(x + by)$ の形に因数分解することを考えます。ここで、$a$ と $b$ は定数です。

$x^2 - 5xy - 14y^2 = (x + ay)(x + by) = x^2 + (a+b)xy + aby^2$

となるためには、$a + b = -5$ かつ $ab = -14$ となるような $a$ と $b$ を見つける必要があります。

$ab = -14$ となる整数 $a$ と $b$ の組み合わせは、$(1, -14)$, $(-1, 14)$, $(2, -7)$, $(-2, 7)$ などです。

このうち、$a+b = -5$ となるのは、$(2, -7)$ の組み合わせです。つまり、$a = 2$、$b = -7$ です。

したがって、$x^2 - 5xy - 14y^2 = (x + 2y)(x - 7y)$ となります。

元の式に適用すると、

$4(x^2 - 5xy - 14y^2) = 4(x + 2y)(x - 7y)$

3. 最終的な答え

$4(x+2y)(x-7y)$