放物線 $y = -2x^2$ を平行移動したもので、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあり、点 $(1, 3)$ を通る放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2$ を平行移動したもので、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあり、点 $(1, 3)$ を通る放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線 $y = -2x^2$ を平行移動したものは、$y = -2(x - p)^2 + q$ と表すことができます。ここで、$(p, q)$ は頂点の座標を表します。

頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、$q = 2p + 1$ となります。

したがって、放物線の方程式は $y = -2(x - p)^2 + 2p + 1$ と表せます。

この放物線が点 $(1, 3)$ を通るので、$x = 1, y = 3$ を代入して $p$ を求めます。

$3 = -2(1 - p)^2 + 2p + 1$

$3 = -2(1 - 2p + p^2) + 2p + 1$

$3 = -2 + 4p - 2p^2 + 2p + 1$

$0 = -2p^2 + 6p - 4$

$0 = p^2 - 3p + 2$

$0 = (p - 1)(p - 2)$

よって、$p = 1, 2$ です。

$p = 1$ のとき、$q = 2(1) + 1 = 3$ より、放物線の方程式は $y = -2(x - 1)^2 + 3$。

$p = 2$ のとき、$q = 2(2) + 1 = 5$ より、放物線の方程式は $y = -2(x - 2)^2 + 5$。

3. 最終的な答え

$y = -2(x - 1)^2 + 3$ または $y = -2(x - 2)^2 + 5$

$y = -2x^2 + 4x + 1$ または $y = -2x^2 + 8x - 3$