はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、19(1), 19(2), 19(3), 20を解きます。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、19(1), 19(2), 19(3), 20を解きます。

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1. 問題の内容**

19(1): 放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ を$x$軸方向に$a$, $y$軸方向に$b$だけ平行移動したとき、この放物線が点$(-2, 0)$で$x$軸に接するような$a$と$b$の値を求める。

19(2): 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが、$y = x^2 - 8x + 9$ のグラフと点$(1, -5)$に関して対称であるとき、$a, b, c$ の値を求める。

19(3): $a \neq 0$ とする。$y = ax^2 - 2ax + b$ ($0 \leq x \leq 3$) の最大値が9, 最小値が1となるような $a, b$ の値を求める。

20: $a$を定数とする。$0 \leq x \leq 4$のとき、2次関数 $f(x) = 2x^2 - ax + 5$ の最大値と最小値、およびそのときの$x$の値を求める。

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2. 解き方の手順**

19(1):

平行移動後の放物線は、

$y = 3(x-a)^2 + 2a(x-a) + a + b = 3(x^2 - 2ax + a^2) + 2ax - 2a^2 + a + b = 3x^2 - 4ax + a^2 + a + b$

この放物線が $(-2, 0)$ で $x$ 軸に接するので、$3x^2 - 4ax + a^2 + a + b = 3(x+2)^2 = 3(x^2 + 4x + 4) = 3x^2 + 12x + 12$

したがって、

$-4a = 12$

$a^2 + a + b = 12$

$a = -3$

$(-3)^2 + (-3) + b = 12$

$9 - 3 + b = 12$

$6 + b = 12$

$b = 6$

19(2):

$y = x^2 - 8x + 9$ を点 $(1, -5)$ に関して対称移動させることを考える。

点 $(x, y)$ が点 $(1, -5)$ に関して対称な点を $(x', y')$ とすると、

$\frac{x+x'}{2} = 1, \frac{y+y'}{2} = -5$

$x' = 2 - x, y' = -10 - y$

$y = x^2 - 8x + 9$ を $x, y$ について解くと、

$-10 - y' = (2-x')^2 - 8(2-x') + 9$

$-10 - y' = 4 - 4x' + x'^2 - 16 + 8x' + 9$

$-10 - y' = x'^2 + 4x' - 3$

$y' = -x'^2 - 4x' - 7$

よって、$a = -1, b = -4, c = -7$

19(3):

$y = ax^2 - 2ax + b = a(x^2 - 2x) + b = a((x - 1)^2 - 1) + b = a(x - 1)^2 - a + b$

軸は $x = 1$ で、$0 \leq x \leq 3$ の範囲に含まれている。

(i) $a > 0$ のとき:

$x = 3$ で最大値 $9$ をとる。$x = 1$ で最小値 $1$ をとる。

$a(3 - 1)^2 - a + b = 9$

$4a - a + b = 9$

$3a + b = 9$

$-a + b = 1$

$3a + b - (-a + b) = 9 - 1$

$4a = 8$

$a = 2$

$-2 + b = 1$

$b = 3$

(ii) $a < 0$ のとき:

$x = 1$ で最大値 $9$ をとる。$x = 3$ または $x = 0$ で最小値 $1$ をとる。

$-a + b = 9$

$a(0-1)^2 - a + b = 1$ なので $a - a + b = b = 1$

よって $-a + 1 = 9$

$a = -8$

$x = 3$ のとき $a(3-1)^2 - a + b = 4a - a + b = 3a + b = 3(-8) + 1 = -23 \neq 1$

$x = 0$ のとき $a(0-1)^2 - a + b = 4a - a + b = a - a + b = b$

したがって、$a > 0$ のとき、$a = 2, b = 3$。

$a < 0$ のとき、$a = -8, b = 1$

20:

$f(x) = 2x^2 - ax + 5 = 2(x^2 - \frac{a}{2}x) + 5 = 2(x - \frac{a}{4})^2 - \frac{a^2}{8} + 5$

軸は $x = \frac{a}{4}$

(i) $\frac{a}{4} < 0$ つまり $a < 0$ のとき:

$x = 0$ で最小値 $f(0) = 5$

$x = 4$ で最大値 $f(4) = 2(4^2) - 4a + 5 = 32 - 4a + 5 = 37 - 4a$

(ii) $0 \leq \frac{a}{4} \leq 4$ つまり $0 \leq a \leq 16$ のとき:

$x = \frac{a}{4}$ で最小値 $f(\frac{a}{4}) = -\frac{a^2}{8} + 5$

$x = 0$ と $x = 4$ で最大値をとる。

$x = 0$ で最大値 $f(0) = 5$

$x = 4$ で最大値 $f(4) = 37 - 4a$

$f(4) - f(0) = 32 - 4a$

$f(4) > f(0)$ なら $32 - 4a > 0$ つまり $a < 8$

$f(4) < f(0)$ なら $32 - 4a < 0$ つまり $a > 8$

(iii) $\frac{a}{4} > 4$ つまり $a > 16$ のとき:

$x = 4$ で最小値 $f(4) = 37 - 4a$

$x = 0$ で最大値 $f(0) = 5$

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3. 最終的な答え**

19(1): $a = -3, b = 6$

19(2): $a = -1, b = -4, c = -7$

19(3): ($a = 2, b = 3$)または($a = -8, b = 1$)

20: 場合分けが必要です。

- $a < 0$ のとき: 最大値 $37 - 4a$ ($x = 4$), 最小値 $5$ ($x = 0$)

- $0 \leq a \leq 8$ のとき: 最大値 $5$ ($x = 0$), 最小値 $-\frac{a^2}{8} + 5$ ($x = \frac{a}{4}$)

- $8 < a \leq 16$ のとき: 最大値 $37-4a$ ($x=4$), 最小値 $-\frac{a^2}{8} + 5$ ($x = \frac{a}{4}$)

- $a > 16$ のとき: 最大値 $5$ ($x = 0$), 最小値 $37 - 4a$ ($x = 4$)