複素数 $z = 1 + i$ と $w = \sqrt{3} + i$ が与えられたとき、$zw$, $\frac{z}{w}$, $\frac{w}{z}$ を極形式で表す。

1. 問題の内容

複素数 $z = 1 + i$ と $w = \sqrt{3} + i$ が与えられたとき、$zw$, $\frac{z}{w}$, $\frac{w}{z}$ を極形式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$z$ と $w$ を極形式で表す。

$z = 1 + i$ の絶対値は $|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ であり、偏角は $\arg(z) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$ である。

したがって、$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ と表せる。

$w = \sqrt{3} + i$ の絶対値は $|w| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ であり、偏角は $\arg(w) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ である。

したがって、$w = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ と表せる。

次に、$zw$ を計算する。

$zw = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \cdot 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)\right)$

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$ なので、$zw = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12}\right)$

次に、$\frac{z}{w}$ を計算する。

$\frac{z}{w} = \frac{\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)}{2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right)\right)$

$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$ なので、$\frac{z}{w} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)$

次に、$\frac{w}{z}$ を計算する。

$\frac{w}{z} = \frac{2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)}{\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{2}{\sqrt{2}}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$ なので、$\frac{w}{z} = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12}\right)$

3. 最終的な答え

$zw = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12}\right)$

$\frac{z}{w} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)$

$\frac{w}{z} = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12}\right)$