$n$ を正整数とし、多項式 $P(x)$ を $P(x) = (x+1)(x+2)^n$ と定める。 (1) $P(x)$ を $x-1$ で割った余りを求めよ。 (2) $(x+2)^n$ を $x^2$ で割った余りを求めよ。 (3) $P(x)$ を $x^2$ で割った余りを求めよ。 (4) $P(x)$ を $x^2(x-1)$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を正整数とし、多項式 $P(x)$ を $P(x) = (x+1)(x+2)^n$ と定める。

(1) $P(x)$ を $x-1$ で割った余りを求めよ。

(2) $(x+2)^n$ を $x^2$ で割った余りを求めよ。

(3) $P(x)$ を $x^2$ で割った余りを求めよ。

(4) $P(x)$ を $x^2(x-1)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余りの定理より、$P(1)$ を計算すればよい。

$P(1) = (1+1)(1+2)^n = 2 \cdot 3^n = 2 \cdot 3^n$

(2) $(x+2)^n$ を $x^2$ で割った余りを $ax+b$ とおく。

$(x+2)^n = x^2Q(x) + ax+b$ ($Q(x)$ は商)

$x = 0$ を代入すると、$2^n = b$ となる。

次に、両辺を $x$ で微分する。

$n(x+2)^{n-1} = 2xQ(x) + x^2Q'(x) + a$

$x = 0$ を代入すると、$n \cdot 2^{n-1} = a$ となる。

よって、余りは $n \cdot 2^{n-1}x + 2^n$

(3) $P(x) = (x+1)(x+2)^n$ を $x^2$ で割った余りを求める。

$(x+2)^n = x^2Q(x) + n2^{n-1}x + 2^n$ を用いる。

$P(x) = (x+1)(x^2Q(x) + n2^{n-1}x + 2^n) = x^2(x+1)Q(x) + (x+1)(n2^{n-1}x + 2^n)$

余りは $(x+1)(n2^{n-1}x + 2^n) = n2^{n-1}x^2 + (n2^{n-1} + 2^n)x + 2^n$ を $x^2$ で割った余りとなる。

よって、余りは $(n2^{n-1} + 2^n)x + 2^n$

(4) $P(x) = x^2(x-1)Q(x) + ax^2 + bx + c$ ($Q(x)$は商、$ax^2+bx+c$は余り)とおく。

$x = 0$ を代入すると、$P(0) = c$ となる。

$P(0) = (0+1)(0+2)^n = 2^n$ なので、$c = 2^n$ となる。

$x = 1$ を代入すると、$P(1) = a+b+c$ となる。

$P(1) = 2 \cdot 3^n$ なので、$a+b+2^n = 2 \cdot 3^n$ より $a+b = 2 \cdot 3^n - 2^n$ となる。

次に、$P(x) = (x+1)(x+2)^n = (x+1)(x^2Q_1(x) + n2^{n-1}x+2^n)$ ($Q_1(x)$は商)

$= x^2(x+1)Q_1(x) + (x+1)(n2^{n-1}x + 2^n) = x^2(x+1)Q_1(x) + n2^{n-1}x^2 + (n2^{n-1} + 2^n)x + 2^n$

$= x^2(x-1)Q(x) + ax^2 + bx + c$

$x^2(x+1)Q_1(x) + n2^{n-1}x^2 + (n2^{n-1} + 2^n)x + 2^n = x^2(x-1)Q(x) + ax^2 + bx + c$

$x^2(x+1)Q_1(x) + n2^{n-1}x^2 + (n2^{n-1} + 2^n)x + 2^n = x^2(x-1)Q(x) + ax^2 + bx + 2^n$

係数比較から、

$b = n2^{n-1}+2^n$

$a+b = 2\cdot3^n - 2^n$

$a = 2\cdot 3^n - 2^n - (n2^{n-1}+2^n) = 2 \cdot 3^n - n2^{n-1} - 2 \cdot 2^n = 2 \cdot 3^n - n2^{n-1} - 2^{n+1}$

従って、余りは $(2 \cdot 3^n - n2^{n-1} - 2^{n+1})x^2 + (n2^{n-1} + 2^n)x + 2^n$

3. 最終的な答え

(1) $2 \cdot 3^n$

(2) $n \cdot 2^{n-1}x + 2^n$

(3) $(n2^{n-1} + 2^n)x + 2^n$

(4) $(2 \cdot 3^n - n2^{n-1} - 2^{n+1})x^2 + (n2^{n-1} + 2^n)x + 2^n$