与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ に対して、行列式 $|A|$ を計算し、逆行列 $A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分と $(3,1)$ 成分を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ に対して、行列式 $|A|$ を計算し、逆行列 $A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分と $(3,1)$ 成分を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 行列式 $|A|$ を計算する。

$|A| = 1(1\cdot 5 - (-1)\cdot 1) - 2(1\cdot 5 - (-1)\cdot 4) + 3(1\cdot 1 - 1\cdot 4) = 1(5+1) - 2(5+4) + 3(1-4) = 6 - 18 - 9 = -21$

ステップ2: 逆行列 $A^{-1}$ を求めるための余因子行列を計算する。

余因子行列の $(i,j)$ 成分は $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ で与えられる。ここで $M_{ij}$ は行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた小行列の行列式である。

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1\cdot 1 - 2\cdot 4) = (-1)(1-8) = 7$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(2\cdot(-1) - 3\cdot 1) = -2 - 3 = -5$

ステップ3: 逆行列 $A^{-1}$ を求める。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T$

ここで $C^T$ は余因子行列の転置行列である。したがって、

$A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分は $\frac{1}{|A|} C_{32}$ であり、$A^{-1}$ の $(3,1)$ 成分は $\frac{1}{|A|} C_{13}$ である。

まず $C_{32}$ を計算する。

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(1\cdot(-1) - 3\cdot 1) = (-1)(-1-3) = 4$

$A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分は $\frac{1}{-21} \times 4 = -\frac{4}{21}$

次に $C_{13}$ を計算する。

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 1(1\cdot 1 - 1\cdot 4) = 1 - 4 = -3$

$A^{-1}$ の $(3,1)$ 成分は $\frac{1}{-21} \times (-3) = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

行列式 $|A| = -21$

逆行列 $A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分は $-\frac{4}{21}$

逆行列 $A^{-1}$ の $(3,1)$ 成分は $\frac{1}{7}$