$A$ が4次正方行列で、その行列式 $|A|$ が5であるとき、$|3{}^tA|$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$A$ が4次正方行列で、その行列式 $|A|$ が5であるとき、$|3{}^tA|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、転置行列の行列式の性質 $|{}^tA| = |A|$ を利用します。

したがって、$|{}^tA| = 5$ です。

次に、行列のスカラー倍の行列式の性質を利用します。 $A$ が $n$ 次正方行列であるとき、$|kA| = k^n |A|$ が成り立ちます。

この問題の場合、$A$ は4次正方行列なので、$n=4$ です。

したがって、$|3{}^tA| = 3^4 |{}^tA| = 3^4 \times 5$ となります。

$3^4 = 81$ であるから、$|3{}^tA| = 81 \times 5 = 405$

3. 最終的な答え

405