次の6つの2次不等式を解きます。 (1) $x^2+2x-8>0$ (2) $x^2-3x+2<0$ (3) $x^2+6x+9>0$ (4) $x^2-10x+25<0$ (5) $x^2-4x+5>0$ (6) $x^2+2x+4<0$

1. 問題の内容

次の6つの2次不等式を解きます。

(1) $x^2+2x-8>0$

(2) $x^2-3x+2<0$

(3) $x^2+6x+9>0$

(4) $x^2-10x+25<0$

(5) $x^2-4x+5>0$

(6) $x^2+2x+4<0$

2. 解き方の手順

各2次不等式について、以下の手順で解を求めます。

1. 左辺を因数分解するか、解の公式を用いて、2次方程式の解を求める。

2. 2次関数のグラフの概形を考え、不等式を満たす$x$の範囲を特定する。

3. 必要に応じて、判別式を用いて、2次方程式の解の有無を判断する。

(1) $x^2+2x-8>0$

- 因数分解すると $(x+4)(x-2)>0$。

- $x<-4$ または $x>2$。

(2) $x^2-3x+2<0$

- 因数分解すると $(x-1)(x-2)<0$。

- $1<x<2$。

(3) $x^2+6x+9>0$

- 因数分解すると $(x+3)^2>0$。

- $x\neq -3$。

(4) $x^2-10x+25<0$

- 因数分解すると $(x-5)^2<0$。

- 実数解なし。

(5) $x^2-4x+5>0$

- 判別式 $D = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 < 0$。

- $x^2-4x+5 = (x-2)^2+1 > 0$ は常に成り立つ。

- 全ての実数。

(6) $x^2+2x+4<0$

- 判別式 $D = (2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12 < 0$。

- $x^2+2x+4 = (x+1)^2+3 > 0$ は常に成り立つ。

- 実数解なし。

3. 最終的な答え

(1) $x<-4$ または $x>2$

(2) $1<x<2$

(3) $x\neq -3$

(4) 解なし

(5) 全ての実数

(6) 解なし