2次関数 $y = x^2 - 2x + 3$ について、次の定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $-1 \le x \le 2$ (2) $-3 \le x \le 0$

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 3$ について、次の定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $-1 \le x \le 2$

(2) $-3 \le x \le 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 3 - 1 = (x - 1)^2 + 2$

この式から、頂点の座標が $(1, 2)$ であり、下に凸のグラフであることがわかります。

(1) $-1 \le x \le 2$ の範囲について考えます。

頂点の $x$ 座標である $x=1$ はこの範囲に含まれます。したがって、$x=1$ で最小値をとります。最小値は $y = (1 - 1)^2 + 2 = 2$ です。

次に、最大値を求めます。定義域の端点である $x = -1$ と $x = 2$ における $y$ の値を比較します。

$x = -1$ のとき、$y = (-1 - 1)^2 + 2 = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

$x = 2$ のとき、$y = (2 - 1)^2 + 2 = (1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$x=-1$のときの$y$の値の方が大きいので、最大値は $6$ です。

(2) $-3 \le x \le 0$ の範囲について考えます。

頂点の $x$ 座標である $x=1$ はこの範囲に含まれません。したがって、頂点では最小値を取りません。

定義域の端点である $x = -3$ と $x = 0$ における $y$ の値を比較します。

$x = -3$ のとき、$y = (-3 - 1)^2 + 2 = (-4)^2 + 2 = 16 + 2 = 18$

$x = 0$ のとき、$y = (0 - 1)^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

したがって、最大値は $18$ です。

最小値は $x = 0$ のとき $3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-1 \le x \le 2$ のとき

最大値: 6

最小値: 2

(2) $-3 \le x \le 0$ のとき

最大値: 18

最小値: 3