2次関数の最大値、最小値を求める問題です。 (1) $y = (x - 3)^2 + 2$ (2) $y = -3(x + 2)^2 - 5$ (3) $y = x^2 + 2x + 5$ (4) $y = -2x^2 + 4x - 7$

1. 問題の内容

2次関数の最大値、最小値を求める問題です。

(1) $y = (x - 3)^2 + 2$

(2) $y = -3(x + 2)^2 - 5$

(3) $y = x^2 + 2x + 5$

(4) $y = -2x^2 + 4x - 7$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x - 3)^2 + 2$ の場合：

この式は平方完成された形です。$(x-3)^2$ は常に0以上なので、yは $x = 3$ のとき最小値をとります。この時の $y$ の値は $2$ です。

また、$x$ が大きくなるにつれて、$y$ は限りなく大きくなるので最大値はありません。

(2) $y = -3(x + 2)^2 - 5$ の場合：

この式も平方完成された形です。$(x + 2)^2$ は常に0以上です。したがって、$-3(x+2)^2$ は常に0以下です。よって、 $y$ は $x = -2$ のとき最大値をとります。この時の $y$ の値は $-5$ です。

また、$x$ が大きくなるにつれて、$y$ は限りなく小さくなるので最小値はありません。

(3) $y = x^2 + 2x + 5$ の場合：

この式を平方完成します。

$y = x^2 + 2x + 1 - 1 + 5$

$y = (x + 1)^2 + 4$

$(x+1)^2$ は常に0以上なので、$y$ は $x = -1$ のとき最小値をとります。この時の $y$ の値は $4$ です。

また、$x$ が大きくなるにつれて、$y$ は限りなく大きくなるので最大値はありません。

(4) $y = -2x^2 + 4x - 7$ の場合：

この式を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 2x) - 7$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 7$

$y = -2(x - 1)^2 + 2 - 7$

$y = -2(x - 1)^2 - 5$

$(x-1)^2$ は常に0以上なので、$-2(x-1)^2$ は常に0以下です。したがって、 $y$ は $x = 1$ のとき最大値をとります。この時の $y$ の値は $-5$ です。

また、$x$ が大きくなるにつれて、$y$ は限りなく小さくなるので最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1)

最大値：なし

最小値：2

(2)

最大値：-5

最小値：なし

(3)

最大値：なし

最小値：4

(4)

最大値：-5

最小値：なし