与えられた方程式と不等式を解く。問題は(1)から(12)までの計12問ある。

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を解く。問題は(1)から(12)までの計12問ある。

2. 解き方の手順

(1) $(2x+3)^2 = 0$

2乗が0になるのは、中身が0の時なので、

$2x+3 = 0$

$2x = -3$

$x = -\frac{3}{2}$

(2) $2x^2 + 3x + 1 = 0$

因数分解できるので、

$(2x+1)(x+1) = 0$

$2x+1 = 0$ または $x+1 = 0$

$x = -\frac{1}{2}$ または $x = -1$

(3) $x^2 - 6x + 6 = 0$

解の公式を使う。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

(4) $4x^2 - 9x + 2 = 0$

因数分解できるので、

$(4x-1)(x-2) = 0$

$4x-1 = 0$ または $x-2 = 0$

$x = \frac{1}{4}$ または $x = 2$

(5) $0.3x^2 - 1.2x - 1.5 = 0$

両辺を10倍して、

$3x^2 - 12x - 15 = 0$

両辺を3で割って、

$x^2 - 4x - 5 = 0$

因数分解できるので、

$(x-5)(x+1) = 0$

$x = 5$ または $x = -1$

(6) $2(x-1)^2 = 8 - 4x$

$2(x^2 - 2x + 1) = 8 - 4x$

$2x^2 - 4x + 2 = 8 - 4x$

$2x^2 - 6 = 0$

$2x^2 = 6$

$x^2 = 3$

$x = \pm \sqrt{3}$

(7) $(x-1)(x-3) > 0$

$x < 1$ または $x > 3$

(8) $-x^2 + 4x + 1 > 0$

$x^2 - 4x - 1 < 0$

解の公式を使う。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

$2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$

(9) $x + 6 < x^2$

$x^2 - x - 6 > 0$

$(x-3)(x+2) > 0$

$x < -2$ または $x > 3$

(10) $x^2 - 4x + 6 > 0$

平方完成すると、

$(x-2)^2 + 2 > 0$

$(x-2)^2 \geq 0$なので、常に成り立つ。

全ての実数

(11)

$\begin{cases}

x^2 - 4 > 0 \\

x^2 - 3x - 4 < 0

\end{cases}$

$x^2 - 4 > 0$ より、

$(x-2)(x+2) > 0$

$x < -2$ または $x > 2$

$x^2 - 3x - 4 < 0$ より、

$(x-4)(x+1) < 0$

$-1 < x < 4$

共通範囲は、$2 < x < 4$

(12)

$\begin{cases}

x^2 + xy = 6y \\

x^2 + y^2 = 5y

\end{cases}$

$y$でくくると、

$\begin{cases}

x^2 = y(6-x) \\

x^2 = y(5-y)

\end{cases}$

$y(6-x) = y(5-y)$

$y(6-x - 5 + y) = 0$

$y(1 - x + y) = 0$

$y = 0$ または $y = x - 1$

$y=0$ のとき、$x^2 = 0$ となるので、$x=0$。

$y = x - 1$ のとき、$x^2 + y^2 = 5y$ に代入して、

$x^2 + (x-1)^2 = 5(x-1)$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 5x - 5$

$2x^2 - 7x + 6 = 0$

$(2x-3)(x-2) = 0$

$x = \frac{3}{2}$ または $x = 2$

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$x = 2$ のとき、$y = 2 - 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{3}{2}$

(2) $x = -\frac{1}{2}, -1$

(3) $x = 3 \pm \sqrt{3}$

(4) $x = \frac{1}{4}, 2$

(5) $x = -1, 5$

(6) $x = \pm \sqrt{3}$

(7) $x < 1$ または $x > 3$

(8) $2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$

(9) $x < -2$ または $x > 3$

(10) 全ての実数

(11) $2 < x < 4$

(12) $(x,y) = (0,0), (\frac{3}{2},\frac{1}{2}), (2,1)$