与えられた5つの行列の行列式を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた5つの行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 3x3行列の行列式を計算します。サラスの公式を使用します。

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 5 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(0)(1) + (0)(3)(2) + (5)(-1)(4) - (2)(0)(5) - (4)(3)(-2) - (1)(-1)(0)$

$= 0 + 0 - 20 - 0 + 24 - 0 = 4$

(2) 4x4行列の行列式を計算します。第2列に注目すると、0が多いので、第2列で余因子展開します。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & -5 \\ -2 & 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

$= -3 \cdot [ (0)(1)(1) + (-2)(2)(-2) + (0)(3)(3) - (-2)(1)(3) - (3)(2)(0) - (1)(3)(-2) ]$

$= -3 \cdot [ 0 + 8 + 0 + 6 - 0 + 6 ] = -3 \cdot 20 = -60$

(3) 4x4行列の行列式を計算します。第3行-5倍の第4行を行に追加して第3行の第3列をゼロにします。次に、第4行-7倍の第1行を行に追加して第1行の第3列をゼロにします。さらに、第1行を第4行から引きます。

$\begin{vmatrix} 3 & 3 & 0 & 7 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 5 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

第3列に関して展開します

$5 \begin{vmatrix} 3 & 3 & 7 \\ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

次に、第2行に関して展開します。

$-2 * 5 \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -10(3-14) = -10 * (-11) = 110$

(4) 4x4行列の行列式を計算します。第2列に注目すると、0が多いので、第2列で余因子展開します。

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 3 & 5 \\ -3 & 2 & 1 & 6 \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} = -2 \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -10 (4 - (-3)) = -10 \cdot 7 = -70$

(5) 4x4行列の行列式を計算します。第1行と第2行に注目すると、0が多いので、第1行で余因子展開します。

$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 7 & -2 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ -2 & 1 & 4 & 5 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-3) \begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 \\ -2 & 1 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

第3行について展開します。

$3[3 \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}] = 9[20 - (-2)] = 9 * 22 = 198$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) -60

(3) 110

(4) -70

(5) 198