与えられた5つの行列の行列式を計算する問題です。

代数学行列行列式線形代数余因子展開
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた5つの行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 3x3行列の行列式を計算します。サラスの公式を使用します。
205103241=(2)(0)(1)+(0)(3)(2)+(5)(1)(4)(2)(0)(5)(4)(3)(2)(1)(1)(0) \begin{vmatrix} -2 & 0 & 5 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(0)(1) + (0)(3)(2) + (5)(-1)(4) - (2)(0)(5) - (4)(3)(-2) - (1)(-1)(0)
=0+0200+240=4 = 0 + 0 - 20 - 0 + 24 - 0 = 4
(2) 4x4行列の行列式を計算します。第2列に注目すると、0が多いので、第2列で余因子展開します。
0020301243252031=3020312231 \begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & -5 \\ -2 & 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 1 \end{vmatrix}
=3[(0)(1)(1)+(2)(2)(2)+(0)(3)(3)(2)(1)(3)(3)(2)(0)(1)(3)(2)] = -3 \cdot [ (0)(1)(1) + (-2)(2)(-2) + (0)(3)(3) - (-2)(1)(3) - (3)(2)(0) - (1)(3)(-2) ]
=3[0+8+0+60+6]=320=60 = -3 \cdot [ 0 + 8 + 0 + 6 - 0 + 6 ] = -3 \cdot 20 = -60
(3) 4x4行列の行列式を計算します。第3行-5倍の第4行を行に追加して第3行の第3列をゼロにします。次に、第4行-7倍の第1行を行に追加して第1行の第3列をゼロにします。さらに、第1行を第4行から引きます。
3307020014532101 \begin{vmatrix} 3 & 3 & 0 & 7 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 5 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}
第3列に関して展開します
53370202115 \begin{vmatrix} 3 & 3 & 7 \\ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}
次に、第2行に関して展開します。
253721=10(314)=10(11)=110-2 * 5 \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -10(3-14) = -10 * (-11) = 110
(4) 4x4行列の行列式を計算します。第2列に注目すると、0が多いので、第2列で余因子展開します。
2010302040353216=2210320435=252132=10(4(3))=107=70 \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 3 & 5 \\ -3 & 2 & 1 & 6 \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} = -2 \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -10 (4 - (-3)) = -10 \cdot 7 = -70
(5) 4x4行列の行列式を計算します。第1行と第2行に注目すると、0が多いので、第1行で余因子展開します。
2472003021453010=(3)242215300 \begin{vmatrix} 2 & 4 & 7 & -2 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ -2 & 1 & 4 & 5 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-3) \begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 \\ -2 & 1 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{vmatrix}
第3行について展開します。
3[34215]=9[20(2)]=922=1983[3 \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}] = 9[20 - (-2)] = 9 * 22 = 198

3. 最終的な答え

(1) 4
(2) -60
(3) 110
(4) -70
(5) 198

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