与えられた数列や条件に基づき、以下の値を求めます。 * 数列 0, 4, 8, 12, 16... の公差と、初項から第10項までの和 * 等差数列において、初項から第10項までの和が140、初項から第20項までの和が480であるときの、初項と公差 * 等比数列をなす3つの実数の和が31、積が125であるとき、一番大きい数 * 年利10%で毎年初めに10万円ずつ預金するとき、4年目の初めに10万円を入金する前の金額 * $a_n = n$ (n = 1, 2, ...) のとき、$\sum_{k=1}^{50} a_k$ の値 * 漸化式 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n + \frac{1}{2}$ について、$a_{n+1} + c = \frac{3}{2}(a_n + c)$ となる $c$ の値と、$a_3$ の値
2025/7/9
1. 問題の内容
与えられた数列や条件に基づき、以下の値を求めます。
* 数列 0, 4, 8, 12, 16... の公差と、初項から第10項までの和
* 等差数列において、初項から第10項までの和が140、初項から第20項までの和が480であるときの、初項と公差
* 等比数列をなす3つの実数の和が31、積が125であるとき、一番大きい数
* 年利10%で毎年初めに10万円ずつ預金するとき、4年目の初めに10万円を入金する前の金額
* (n = 1, 2, ...) のとき、 の値
* 漸化式 , について、 となる の値と、 の値
2. 解き方の手順
* 数列 0, 4, 8, 12, 16... について:
* 公差: 隣り合う項の差を計算します。4 - 0 = 4, 8 - 4 = 4 なので、公差は4です。
* 初項から第10項までの和: 等差数列の和の公式 を使います。ここで、, , です。
* 等差数列の初項と公差について:
* 初項を , 公差を とします。初項から第10項までの和は 、初項から第20項までの和は となります。
* これらを整理すると、 つまり と、 つまり となります。
* 連立方程式を解きます。 から を引くと、, よって となります。
* より、, , よって となります。
* 等比数列について:
* 3つの実数を と置きます。これらの積は なので、 です。
* 和は なので、, , , となります。
* より、 または となります。
* のとき、数列は 、 のとき、数列は となります。
* いずれにしても、一番大きい数は25です。
* 預金について:
* 1年後の金額: 10万円 + 10万円 * 0.1 = 11万円
* 2年後の金額: 11万円 + 11万円 * 0.1 + 10万円 = 11万円 + 1.1万円 + 10万円 = 22.1万円
* 3年後の金額: 22.1万円 + 22.1万円 * 0.1 + 10万円 = 22.1万円 + 2.21万円 + 10万円 = 34.31万円
* 4年目の初めの金額: 34.31万円 + 34.31万円 * 0.1 = 34.31万円 + 3.431万円 = 37.741万円
* よって377410円
* のとき:
*
* 漸化式について:
* と を展開すると となるので、 より となります。
*
*
3. 最終的な答え
* 公差: 4
* 初項から第10項までの和: 180
* 初項: 5
* 公差: 2
* 一番大きい数: 25
* 4年目の初めの金額: 377410
* : 1275
* cの値: 1
* の値: 8