与えられた数列や条件に基づき、以下の値を求めます。 * 数列 0, 4, 8, 12, 16... の公差と、初項から第10項までの和 * 等差数列において、初項から第10項までの和が140、初項から第20項までの和が480であるときの、初項と公差 * 等比数列をなす3つの実数の和が31、積が125であるとき、一番大きい数 * 年利10%で毎年初めに10万円ずつ預金するとき、4年目の初めに10万円を入金する前の金額 * $a_n = n$ (n = 1, 2, ...) のとき、$\sum_{k=1}^{50} a_k$ の値 * 漸化式 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n + \frac{1}{2}$ について、$a_{n+1} + c = \frac{3}{2}(a_n + c)$ となる $c$ の値と、$a_3$ の値

1. 問題の内容

与えられた数列や条件に基づき、以下の値を求めます。

* 数列 0, 4, 8, 12, 16... の公差と、初項から第10項までの和

* 等差数列において、初項から第10項までの和が140、初項から第20項までの和が480であるときの、初項と公差

* 等比数列をなす3つの実数の和が31、積が125であるとき、一番大きい数

* 年利10%で毎年初めに10万円ずつ預金するとき、4年目の初めに10万円を入金する前の金額

* $a_n = n$ (n = 1, 2, ...) のとき、$\sum_{k=1}^{50} a_k$ の値

* 漸化式 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n + \frac{1}{2}$ について、$a_{n+1} + c = \frac{3}{2}(a_n + c)$ となる $c$ の値と、$a_3$ の値

2. 解き方の手順

* 数列 0, 4, 8, 12, 16... について:

* 公差: 隣り合う項の差を計算します。4 - 0 = 4, 8 - 4 = 4 なので、公差は4です。

* 初項から第10項までの和: 等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ を使います。ここで、$n = 10$, $a = 0$, $d = 4$ です。

$S_{10} = \frac{10}{2}(2(0) + (10-1)4) = 5(0 + 9(4)) = 5(36) = 180$

* 等差数列の初項と公差について:

* 初項を $a$, 公差を $d$ とします。初項から第10項までの和は $\frac{10}{2}(2a + 9d) = 140$、初項から第20項までの和は $\frac{20}{2}(2a + 19d) = 480$ となります。

* これらを整理すると、$5(2a + 9d) = 140$ つまり $2a + 9d = 28$ と、$10(2a + 19d) = 480$ つまり $2a + 19d = 48$ となります。

* 連立方程式を解きます。$2a + 19d = 48$ から $2a + 9d = 28$ を引くと、$10d = 20$, よって $d = 2$ となります。

* $2a + 9(2) = 28$ より、$2a + 18 = 28$, $2a = 10$, よって $a = 5$ となります。

* 等比数列について:

* 3つの実数を $a/r, a, ar$ と置きます。これらの積は $a^3 = 125$ なので、$a = 5$ です。

* 和は $a/r + a + ar = 31$ なので、$5/r + 5 + 5r = 31$, $5/r + 5r = 26$, $5 + 5r^2 = 26r$, $5r^2 - 26r + 5 = 0$ となります。

* $(5r - 1)(r - 5) = 0$ より、$r = 5$ または $r = 1/5$ となります。

* $r = 5$ のとき、数列は $1, 5, 25$、$r = 1/5$ のとき、数列は $25, 5, 1$ となります。

* いずれにしても、一番大きい数は25です。

* 預金について:

* 1年後の金額: 10万円 + 10万円 * 0.1 = 11万円

* 2年後の金額: 11万円 + 11万円 * 0.1 + 10万円 = 11万円 + 1.1万円 + 10万円 = 22.1万円

* 3年後の金額: 22.1万円 + 22.1万円 * 0.1 + 10万円 = 22.1万円 + 2.21万円 + 10万円 = 34.31万円

* 4年目の初めの金額: 34.31万円 + 34.31万円 * 0.1 = 34.31万円 + 3.431万円 = 37.741万円

* よって377410円

* $a_n = n$ のとき:

* $\sum_{k=1}^{50} a_k = \sum_{k=1}^{50} k = \frac{50(50+1)}{2} = \frac{50(51)}{2} = 25(51) = 1275$

* 漸化式について:

* $a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n + \frac{1}{2}$ と $a_{n+1} + c = \frac{3}{2}(a_n + c)$ を展開すると $a_{n+1} + c = \frac{3}{2}a_n + \frac{3}{2}c$ となるので、$\frac{1}{2} = \frac{3}{2}c - c = \frac{1}{2}c$ より $c = 1$ となります。

* $a_2 = \frac{3}{2}a_1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}(3) + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

* $a_3 = \frac{3}{2}a_2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}(5) + \frac{1}{2} = \frac{15}{2} + \frac{1}{2} = \frac{16}{2} = 8$

3. 最終的な答え

* 公差: 4

* 初項から第10項までの和: 180

* 初項: 5

* 公差: 2

* 一番大きい数: 25

* 4年目の初めの金額: 377410

* $\sum_{k=1}^{50} a_k$ : 1275

* cの値: 1

* $a_3$の値: 8