与えられた数列や条件に基づき、以下の値を求めます。 * 数列 0, 4, 8, 12, 16... の公差と、初項から第10項までの和 * 等差数列において、初項から第10項までの和が140、初項から第20項までの和が480であるときの、初項と公差 * 等比数列をなす3つの実数の和が31、積が125であるとき、一番大きい数 * 年利10%で毎年初めに10万円ずつ預金するとき、4年目の初めに10万円を入金する前の金額 * $a_n = n$ (n = 1, 2, ...) のとき、$\sum_{k=1}^{50} a_k$ の値 * 漸化式 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n + \frac{1}{2}$ について、$a_{n+1} + c = \frac{3}{2}(a_n + c)$ となる $c$ の値と、$a_3$ の値

代数学数列等差数列等比数列漸化式級数
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた数列や条件に基づき、以下の値を求めます。
* 数列 0, 4, 8, 12, 16... の公差と、初項から第10項までの和
* 等差数列において、初項から第10項までの和が140、初項から第20項までの和が480であるときの、初項と公差
* 等比数列をなす3つの実数の和が31、積が125であるとき、一番大きい数
* 年利10%で毎年初めに10万円ずつ預金するとき、4年目の初めに10万円を入金する前の金額
* an=na_n = n (n = 1, 2, ...) のとき、k=150ak\sum_{k=1}^{50} a_k の値
* 漸化式 a1=3a_1 = 3, an+1=32an+12a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n + \frac{1}{2} について、an+1+c=32(an+c)a_{n+1} + c = \frac{3}{2}(a_n + c) となる cc の値と、a3a_3 の値

2. 解き方の手順

* 数列 0, 4, 8, 12, 16... について:
* 公差: 隣り合う項の差を計算します。4 - 0 = 4, 8 - 4 = 4 なので、公差は4です。
* 初項から第10項までの和: 等差数列の和の公式 Sn=n2(2a+(n1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) を使います。ここで、n=10n = 10, a=0a = 0, d=4d = 4 です。
S10=102(2(0)+(101)4)=5(0+9(4))=5(36)=180S_{10} = \frac{10}{2}(2(0) + (10-1)4) = 5(0 + 9(4)) = 5(36) = 180
* 等差数列の初項と公差について:
* 初項を aa, 公差を dd とします。初項から第10項までの和は 102(2a+9d)=140\frac{10}{2}(2a + 9d) = 140、初項から第20項までの和は 202(2a+19d)=480\frac{20}{2}(2a + 19d) = 480 となります。
* これらを整理すると、5(2a+9d)=1405(2a + 9d) = 140 つまり 2a+9d=282a + 9d = 28 と、10(2a+19d)=48010(2a + 19d) = 480 つまり 2a+19d=482a + 19d = 48 となります。
* 連立方程式を解きます。2a+19d=482a + 19d = 48 から 2a+9d=282a + 9d = 28 を引くと、10d=2010d = 20, よって d=2d = 2 となります。
* 2a+9(2)=282a + 9(2) = 28 より、2a+18=282a + 18 = 28, 2a=102a = 10, よって a=5a = 5 となります。
* 等比数列について:
* 3つの実数を a/r,a,ara/r, a, ar と置きます。これらの積は a3=125a^3 = 125 なので、a=5a = 5 です。
* 和は a/r+a+ar=31a/r + a + ar = 31 なので、5/r+5+5r=315/r + 5 + 5r = 31, 5/r+5r=265/r + 5r = 26, 5+5r2=26r5 + 5r^2 = 26r, 5r226r+5=05r^2 - 26r + 5 = 0 となります。
* (5r1)(r5)=0(5r - 1)(r - 5) = 0 より、r=5r = 5 または r=1/5r = 1/5 となります。
* r=5r = 5 のとき、数列は 1,5,251, 5, 25r=1/5r = 1/5 のとき、数列は 25,5,125, 5, 1 となります。
* いずれにしても、一番大きい数は25です。
* 預金について:
* 1年後の金額: 10万円 + 10万円 * 0.1 = 11万円
* 2年後の金額: 11万円 + 11万円 * 0.1 + 10万円 = 11万円 + 1.1万円 + 10万円 = 22.1万円
* 3年後の金額: 22.1万円 + 22.1万円 * 0.1 + 10万円 = 22.1万円 + 2.21万円 + 10万円 = 34.31万円
* 4年目の初めの金額: 34.31万円 + 34.31万円 * 0.1 = 34.31万円 + 3.431万円 = 37.741万円
* よって377410円
* an=na_n = n のとき:
* k=150ak=k=150k=50(50+1)2=50(51)2=25(51)=1275\sum_{k=1}^{50} a_k = \sum_{k=1}^{50} k = \frac{50(50+1)}{2} = \frac{50(51)}{2} = 25(51) = 1275
* 漸化式について:
* an+1=32an+12a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n + \frac{1}{2}an+1+c=32(an+c)a_{n+1} + c = \frac{3}{2}(a_n + c) を展開すると an+1+c=32an+32ca_{n+1} + c = \frac{3}{2}a_n + \frac{3}{2}c となるので、12=32cc=12c\frac{1}{2} = \frac{3}{2}c - c = \frac{1}{2}c より c=1c = 1 となります。
* a2=32a1+12=32(3)+12=92+12=102=5a_2 = \frac{3}{2}a_1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}(3) + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5
* a3=32a2+12=32(5)+12=152+12=162=8a_3 = \frac{3}{2}a_2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}(5) + \frac{1}{2} = \frac{15}{2} + \frac{1}{2} = \frac{16}{2} = 8

3. 最終的な答え

* 公差: 4
* 初項から第10項までの和: 180
* 初項: 5
* 公差: 2
* 一番大きい数: 25
* 4年目の初めの金額: 377410
* k=150ak\sum_{k=1}^{50} a_k : 1275
* cの値: 1
* a3a_3の値: 8

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