次の方程式を解きます。 $\log_3 x + \log_9 (4-x) = 1$

## 211(3) の問題

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

$\log_3 x + \log_9 (4-x) = 1$

2. 解き方の手順

まず、対数の底を揃えます。$\log_9 (4-x)$ を $\log_3$ で表すために、底の変換公式を用います。

$\log_9 (4-x) = \frac{\log_3 (4-x)}{\log_3 9} = \frac{\log_3 (4-x)}{2}$

したがって、方程式は次のようになります。

$\log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 (4-x) = 1$

次に、対数の性質を用いて式を整理します。

$\log_3 x + \log_3 (4-x)^{\frac{1}{2}} = 1$

$\log_3 \left(x\sqrt{4-x}\right) = 1$

対数の定義より、

$x\sqrt{4-x} = 3^1 = 3$

両辺を2乗します。

$x^2 (4-x) = 9$

$4x^2 - x^3 = 9$

$x^3 - 4x^2 + 9 = 0$

この3次方程式を解きます。$x=-1$ が解の一つであることに気づくと、因数分解できます。

$(x+1)(x^2-5x+9)=0$

$x=-1$　または　$x^2 - 5x + 9 = 0$

2次方程式 $x^2 - 5x + 9 = 0$ を解くと、判別式 $D = (-5)^2 - 4(1)(9) = 25 - 36 = -11 < 0$ であるため、実数解を持ちません。

したがって、$x=-1$ が候補となりますが、対数の真数条件を確認する必要があります。

$\log_3 x$ が定義されるためには $x > 0$ である必要があります。

$\log_9 (4-x)$ が定義されるためには $4-x > 0$、つまり $x < 4$ である必要があります。

$x = -1$ は $x > 0$ を満たさないため、不適です。

しかし、$x=3$を代入すると

$\log_3{3}+\log_9{(4-3)} = 1+\log_9{1} = 1 + 0 = 1$となり、与式を満たす。

したがって、$x=3$

3. 最終的な答え

$x=3$