$x$ の2次方程式 $x^2 + 2ax + a^2 + 5a - 7 = 0$ が実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $x^2 + 2ax + a^2 + 5a - 7 = 0$ が実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D \ge 0$ であることです。

与えられた2次方程式 $x^2 + 2ax + a^2 + 5a - 7 = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = (2a)^2 - 4(1)(a^2 + 5a - 7)$

$= 4a^2 - 4(a^2 + 5a - 7)$

$= 4a^2 - 4a^2 - 20a + 28$

$= -20a + 28$

実数解を持つためには、$D \ge 0$ である必要があるので、

$-20a + 28 \ge 0$

$-20a \ge -28$

$20a \le 28$

$a \le \frac{28}{20}$

$a \le \frac{7}{5}$

3. 最終的な答え

$a \le \frac{7}{5}$