問題は、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、 (1) $a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、

(1) $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ は、$\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$ より $1 < \sqrt{3} < 2$ なので、$\sqrt{3}$ の近似値は 1.732... です。

したがって、$2+\sqrt{3}$ の整数部分は $2+1 = 3$ なので、$a = 3$ です。

小数部分は $b = (2+\sqrt{3}) - a = 2+\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} - 1$ となります。

(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めます。

$a=3$、$b=\sqrt{3}-1$ を代入すると、

$a+2b+b^2+1 = 3 + 2(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1)^2 + 1$

$= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 1$

$= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + 4 - 2\sqrt{3} + 1$

$= 6$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = \sqrt{3} - 1$

(2) $a+2b+b^2+1 = 6$